Matematyka.pl

Proszę o pomoc w pokazaniu, że:

Jeśli E jest zbiorem nieskończonym, to
\(\displaystyle{ \#(E\times \mathbb{N}) = \#E}\)

Witam! Mam do policzenia ekstrema funkcji:
\(\displaystyle{ f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2}\) pod warunkami \(\displaystyle{ x + y + z = 0}\) oraz \(\displaystyle{ (x^2 + y^2 + z^2)^2 = x^2 + 4y^2 + z^2}\)
Próbowałem liczyć ale to się robi strasznie zagmatwane, podejrzewam że trzeba tu coś sprytnie zauważyć... Będę wdzięczny za podpowiedzi

Z twierdzenia Brouwera o niezmienniczości obszaru wynika że faktycznie wnętrze musi przejść tu na wnętrze a to rozwiązuje problem zbiory nie są homeomorficzne

Tak, wiem, chodziło mi o wnętrze tych zbiorów jako podzbiorów płaszczyzny

Proszę o pomoc w pokazaniu, że suma dwóch zbiorów nigdziegęstych jest nigdziegęsta.

Czy zbiory \(\displaystyle{ [0,1]\times\mathbb{R}}\) i \(\displaystyle{ [0,1)\times\mathbb{R}}\) są homeomorficzne? Wydaje mi się że nie są ale nie potrafię tego pokazać. Jak z obu wyrzucimy wnętrze to w jednym zostanie zbiór spójny a w drugim nie, ale czy homeomorfizm przenosi wnętrze na wnętrze? Proszę o pomoc.

Dzięki pozdrawiam!

Witam! Jak pokazać, że elementy \(\displaystyle{ 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}}\) są liniowo niezależne nad ciałem liczb wymiernych?

Muszę pokazać że funkcja która przyporządkowuje elementowi \(\displaystyle{ (x,y)}\) element \(\displaystyle{ (sin( \frac{y}{2} ) - x,sin( \frac{x}{2} ) - y)}\) jest iniektywna, proszę o pomoc

Muszę pokazać że jedyną grupą o indeksie 2 w S4 jest A4, proszę o pomoc.

Dzięki!

max pisze: W przypadku grup skończonych grupa \(\displaystyle{ S_{p}}\) dla \(\displaystyle{ p\ge 3}\) pierwszych jest generowana przez dwa elementy \(\displaystyle{ (1\ 2), (1\ \ldots \ p)}\)

A to jest chyba nawet prawda dla dowolnej liczby naturalnej większej od 1, nie tylko dla liczb pierwszych

Załóżmy, że grupa G ma n generatorów. Czy stąd wynika, że każda jej podgrupa da się
wygenerować przez zbiór co najwyżej n-elementowy?

Proszę o pomoc w rozwiązaniu dwóch problemów:
1) Pokazać, że liczby całkowite Gaussa z funkcją przyporządkowującą liczbie kwadrat jej modułu są dziedziną Euklidesa
2) Udowodnić, że jeśli R jest pierścieniem całkowitym z jedynką, a,b,c należą do R{0}, a,b są względnie pierwsze, to c należy co NWD(ca ...

Proszę o pomoc w zadaniu: Pokazać, że moc zbioru ciągów o wyrazach rzeczywistych jest równa continuum

Proszę o pomoc w udowodnieniu stwierdzenia: Jeśli P jest pierścieniem przemiennym z jedynką i ideał trywialny jest maksymalny w P to P jest ciałem.