Ideały maksymalny a ciało

[ap_sanczo]

Proszę o pomoc w udowodnieniu stwierdzenia: Jeśli P jest pierścieniem przemiennym z jedynką i ideał trywialny jest maksymalny w P to P jest ciałem.

[Tomasz Tkaczyk]

Załóżmy, że w pierścieniu przemiennym \(\displaystyle{ R}\) z jednością ideałem maksymalnym jest ideał \(\displaystyle{ (0)}\).

Wówczas dla każdego \(\displaystyle{ a \in R \backslash \lbrace 0 \rbrace}\)

\(\displaystyle{ (a) = R}\).

Zatem \(\displaystyle{ (a) = (1)}\), więc istnieje taki \(\displaystyle{ b \in R}\), że \(\displaystyle{ a \cdot b = 1}\).

Zatem \(\displaystyle{ a}\) jest odwracalny.

Więc \(\displaystyle{ R}\) jest pierścieniem przemiennym z jednością i z dzieleniem, co oznacza, że jest ciałem.