Równoliczność zbiorów

[ap_sanczo]

Proszę o pomoc w zadaniu: Pokazać, że moc zbioru ciągów o wyrazach rzeczywistych jest równa continuum

[Zordon]

\(\displaystyle{ |\mathbb{R}^{\mathbb{N}}|=|(\{0,1\}^{\mathbb{N}})^{\mathbb{N}}|=|\{0,1\}^{\mathbb{N} \times \mathbb{N}}|=|\{0,1\}^{\mathbb{N}}|=|\mathbb{R}|}\)

Korzystamy, z tego, że:
\(\displaystyle{ |A|=|B|}\) i \(\displaystyle{ |C|=|D|}\) wtedy:
\(\displaystyle{ |A^C|=|B^D|}\)
oraz dla wszelkich zbiorów \(\displaystyle{ A,B,C}\)
\(\displaystyle{ |(A^{B})^C|=|A^{B \times C}|}\)

Oczywiście należałoby to udowodnić, jeśli nie było na wykładzie/ćwiczeniach.