Liniowa niezależność nad ciałem liczb wymiernych

[ap_sanczo]

Witam! Jak pokazać, że elementy \(\displaystyle{ 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}}\) są liniowo niezależne nad ciałem liczb wymiernych?

[BettyBoo]

Z definicji:

\(\displaystyle{ a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}=0,\ a,b,c,d\in\mathbb{Q}}\)

i tak przekształć, żeby wyniknęło z tego, że wszystkie współczynniki muszą być 0.

Podpowiedź:    

\(\displaystyle{ a+b\sqrt{2}=-\sqrt{3}(c+d\sqrt{2})}\)

Pozdrawiam.

[ap_sanczo]

Dzięki pozdrawiam!

[max]

Można to spróbować przeliczyć na palcach, albo można skorzystać z teorii ciał:
Ponieważ \(\displaystyle{ \sqrt{2}\not \in \mathbb{Q}}\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt{3}\not\in \mathbb{Q}(\sqrt{2}),}\) to stopień rozszerzenia:
\(\displaystyle{ [\mathbb{Q}(\sqrt{2})(\sqrt{3}):\mathbb{Q}]}\)
jest nie mniejszy niż 4 i stąd:
\(\displaystyle{ 1, \sqrt{2},1\cdot \sqrt{2}, \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}\)
można dopełnić do bazy tego rozszerzenia (w rzeczywistości jego stopień jest równy 4, więc jest to baza), w szczególności liczby te są liniowo niezależne nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}.}\)