Matematyka.pl

Kerajs

Nie mam innego pomysłu jak rozwiązanie tego układu równań
albo tego równania cząstkowego
Problem w tym że ten układ równań jest nieliniowy
a równanie cząstkowe trzeba rozwiązać inną metodą niż metoda charakterystyk
(Metoda charakterystyk zastosowana do podanego przeze mnie równania ...

Mamy równanie postaci

P\left( x,y\right) \dd x +Q\left( x,y\right) \dd y = 0

Poszukujemy rozwiązania w postaci F\left( x,y\right)=C
gdzie funkcja F\left( x,y\right) spełnia następujący układ równań



\begin{cases} \frac{ \partial F}{ \partial x} = P\left( x,y\right) \\ \frac{ \partial F ...

1. A możemy tak całkować ? Tutaj y zależy od x
2 I co teraz z tym równaniem

y'' = (1 - 2y^2 - 4 x) (y')³, ~~y(0) = 0,~~ y'(0) = 1


Przekształćmy to równanie w układ równań


\begin{cases} \frac{ \dd y}{ \dd x } = z\\ \frac{ \dd z}{ \dd x } = \left( 1-2y^2-4x\right)z^3 \end{cases}


Możemy zapisać układ równań w postaci symetrycznej

\frac{ \dd y}{z} = \frac{ \dd z ...

\(\displaystyle{
W\left( x\right) = \left( x^2-x-1\right)^2\left( x^2+x+1\right)
}\)

Cztery pierwiastki rzeczywiste (dwa dwukrotne)

To może tak

\(\displaystyle{ \frac{ \partial }{ \partial x}\left(\left( y^2+1\right)u + y\frac{ \partial u}{ \partial y} \right) = 0}\)

Tyle że musimy wtedy przyjąć że założenia twierdzenia Schwarza o pochodnych mieszanych są spełnione

To może inaczej dlaczego mimo iż na pierwszy rzut oka kwadratura Gaussa-Laguerre'a wydaje się nadawać do obliczeń funkcji Gamma w praktyce daje kiepskie efekty

Wiem że dobre efekty daje aproksymacja Lanczosa ale czy
dobrym pomysłem byłoby sprowadzenie argumentu do przedziału \(\displaystyle{ \left\langle 1,2\right\rangle }\)
i zastosowanie kwadratury Gaussa-Laguerre'a

Współczynnik kierunkowy prostej to tangens kąta nachylenia do osi odciętych
zatem przedział dla kąta będzie \langle \arctg{\left(\frac{1}{2}\right)},\frac{\pi}{4}\rangle

\int_{\arctg{\frac{1}{2}}}^{ \frac{\pi}{4} }{\int_{0}^{2}r^2 \dd r \dd \theta}=\frac{8}{3}\left(\frac{\pi}{4}-\arctg{\left ...

Tak jak ci wygodniej to możesz najpierw podstawić
W swojej całce musisz pamiętać że x jest funkcją zmiennej t
i wyrazić tę funkcję x za pomocą zmiennej t
Jak chcesz rozwijać w szereg to pamiętaj że po scałkowaniu przez części będziesz miał cosinusa do rozwinięcia

\int{\sin{\left( \frac{1}{x}\right) }\mbox{d}x}\\


Całkujemy przez części


\int{\sin{\left( \frac{1}{x}\right) }\mbox{d}x}=x\sin{\left( \frac{1}{x}\right) }-\int{x \cdot \cos{\left( \frac{1}{x} \right) } \cdot \left( -\frac{1}{x^2}\right) \mbox{d}x}\\
\int{\sin{\left( \frac{1}{x}\right ...

Można i indukcją ale ciekawszy byłby sposób pozwalający taką sumę wyprowadzić

Dla sumy cosinusów wystarczy zaburzanie

Można sprowadzić podaną całkę do całki z

\(\displaystyle{ -2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\ln{\left( \cos{t}\right) }\mbox{d}t}}\)

\int_{0}^{\theta}{\sin^{2n}{\left(t\right)}\mbox{d}t} = \frac{1}{2^{2n}}\left({2n \choose n}\cdot\theta +\sum\limits_{m=1}^{n}{\left( -1\right)^{m}\cdot{2n \choose n+m}\cdot\frac{\sin{\left( 2m\theta\right) }}{m} }\right)

Znalazłem ten wzorek w tablicach i odrobinę go przekształciłem
ale jak go ...

Jeżeli chodzi o całkę mola x » 3 maja 2025, o 14:21
to można ją uogólnić


\int\limits_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}{\cos^{n}{\left(t \right) }\mbox{d}t}\\


Propozycja obliczenia
1. Rozważyć dwa przypadki dla n parzystego i n nieparzystego
2. Wyprowadzić wzór redukcyjny całkując przez części i ...