nieliniowe drugiego rzędu

[Mlodsza]

\(\displaystyle{ y'' = (1 - 2y^2 - 4 x) (y')³, ~~y(0) = 0,~~ y'(0) = 1}\)

Nie moge wymyslic sprytnego podstawienia. Bede wdzieczna za podpowiedz.

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ y'' = (1 - 2y^2 - 4 x) (y')³, ~~y(0) = 0,~~ y'(0) = 1}\)


Przekształćmy to równanie w układ równań

\(\displaystyle{
\begin{cases} \frac{ \dd y}{ \dd x } = z\\ \frac{ \dd z}{ \dd x } = \left( 1-2y^2-4x\right)z^3 \end{cases}
}\)

Możemy zapisać układ równań w postaci symetrycznej

\(\displaystyle{ \frac{ \dd y}{z} = \frac{ \dd z}{\left( 1-2y^2-4x\right)z^3 } = \frac{ \dd x }{1} }\)

\(\displaystyle{
\frac{ \dd y}{z} = \frac{ \dd z}{\left( 1-2y^2-4x\right)z^3 } = \frac{ \dd x }{1}=\frac{ \alpha \left( x\right) \dd x + \beta \left( y\right) \dd y + \gamma\left( z\right) \dd z }{\alpha \left( x\right)+\beta \left( y\right)z+\gamma\left( z\right) \cdot z^3\left( 1-2y^2-4x\right) }
}\)


Teraz jeżeli uda nam się znaleźć dwie niezależne trójki \(\displaystyle{ \left( \alpha \left( x\right), \beta \left( y\right), \gamma \left( z\right) \right) }\)

takie aby \(\displaystyle{ \alpha \left( x\right)+\beta \left( y\right)z+\gamma\left( z\right) \cdot z^3\left( 1-2y^2-4x\right) = 0}\)

to rozwiążemy układ równań a także i oryginalne równanie

Chyba że jest jeszcze inne podejście do układu równań

\(\displaystyle{ \frac{ \dd y}{z} = \frac{ \dd z}{\left( 1-2y^2-4x\right)z^3 } = \frac{ \dd x }{1} }\)


Możliwe że da się ten układ równań przekształcić w równanie cząstkowe pierwszego rzędu ale czy ułatwi to rozwiązanie ?

Równanie cząstkowe o którym wspomniałem wygląda chyba następująco

\(\displaystyle{
\frac{ \partial u\left( x,y,z\right) }{ \partial x}+z\frac{ \partial u\left( x,y,z\right) }{ \partial y}+\left( 1-2y^2-4x\right) \cdot z^3 \cdot \frac{ \partial u\left( x,y,z\right) }{ \partial z} = 0
}\)


Rozwiązanniem tego równania jest funkcja \(\displaystyle{ F\left( \psi_{1}\left( x,y,z\right),\psi_{2}\left( x,y,z\right) \right) }\)

gdzie \(\displaystyle{ \psi_{1}\left( x,y,z\right)}\) oraz \(\displaystyle{ \psi_{2}\left( x,y,z\right)}\)

to dwie niezależne całki pierwsze układu do którego przekształciliśmy wyjściowe równanie

Pytanie teraz czy potrafimy rozwiązać równanie cząstkowe
\(\displaystyle{
\frac{ \partial u\left( x,y,z\right) }{ \partial x}+z\frac{ \partial u\left( x,y,z\right) }{ \partial y}+\left( 1-2y^2-4x\right) \cdot z^3 \cdot \frac{ \partial u\left( x,y,z\right) }{ \partial z} = 0
}\)

inaczej niż metodą charakterystyk

[kerajs]

\(\displaystyle{
\frac{y''}{(y')^3} =1 - 2y^2 - 4 x \\
\frac{-2y'y''}{(y')^4} =-2(1 - 2y^2 - 4 x) \\
\left( \frac{1}{(y')^2}\right) ' =-2 + 4y^2 +8 x \\

\frac{1}{(y')^2}=-2x + 4xy^2 +4 x^2 +C\\
1=-0+0+0+C \ \ \Rightarrow \ \ C=1 \\
\frac{1}{y'}= \sqrt{-2x + 4xy^2 +4 x^2 +1}\\
x'=\sqrt{-2x + 4xy^2 +4 x^2 +1}}\)

Pytanie teraz czy potrafimy rozwiązać równanie

[Mariusz M]

1. A możemy tak całkować ? Tutaj y zależy od x
2 I co teraz z tym równaniem

[kerajs]

Sądziłem, że żartujesz, więc dla hecy dołączyłem się z własnym pseudorozwiązaniem.

[Mariusz M]

Kerajs

Nie mam innego pomysłu jak rozwiązanie tego układu równań
albo tego równania cząstkowego
Problem w tym że ten układ równań jest nieliniowy
a równanie cząstkowe trzeba rozwiązać inną metodą niż metoda charakterystyk
(Metoda charakterystyk zastosowana do podanego przeze mnie równania cząstkowego
prowadzi do układu równań do którego zostało sprowadzone to równanie nieliniowe
więc prowadziłoby to do błędnego koła)

Masz pomysł na ten układ równań a może bawiłeś się równaniami cząstkowymi ?
No chyba że masz inny pomysł na wyjściowe równanie