całka podwójna (chyba współ. biegunowe)

[Foxy gun]

obliczyć całkę \(\displaystyle{ \iint _D \sqrt{x^2+y^2}dxdy}\) gdzie D jest ograniczone krzywymi \(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}x, y=x, x^2+y^2=4}\)

Bardzo proszę o szczególnie dokładne wyjaśnienie skąd wziąć ogarniczenie \(\displaystyle{ \rho}\) o ile w ogóle trzeba tu zastosować wspł. biegunowe

[a4karo]

Współrzędne biegunowe są tu bardzo ok.
Narysuj to sobie.
Jeżeli nic nie zobaczysz, to znaczy że musisz wrócić do definicji tych współrzędnych i je zrozumieć

[Foxy gun]

czy będzie od 0 do \(\displaystyle{ 2 \pi }\)

[a4karo]

To znaczy, że nie widzisz. Powtórz podstawy

[Foxy gun]

no nie widzę dlatego piszę tutaj. Skoro piszę na forum to znaczy, że nie rozumiem definicji i potrzebuję kogoś kto wytłumaczy to jaśniej/prościej

[a4karo]

Czym jest kąt `\varphi` we współrzędnych biegunowych?

[Niepokonana]

Wyjątkowo się zgadzam z a4karo, otóż współrzędne biegunowe są do radzenia se z całkami po kołach, a tutaj mamy kawałek koła, co widać jak się narysuje.

[Mariusz M]

Współczynnik kierunkowy prostej to tangens kąta nachylenia do osi odciętych
zatem przedział dla kąta będzie \(\displaystyle{ \langle \arctg{\left(\frac{1}{2}\right)},\frac{\pi}{4}\rangle}\)

\(\displaystyle{ \int_{\arctg{\frac{1}{2}}}^{ \frac{\pi}{4} }{\int_{0}^{2}r^2 \dd r \dd \theta}=\frac{8}{3}\left(\frac{\pi}{4}-\arctg{\left( \frac{1}{2}\right) }\right)}\)