Matematyka.pl

Szanowni Państwo.

Uprzejmie proszę o informację czy w wypadku całki:
\(\displaystyle{ \int \sin\frac{1}{x}\dd x = \cos\frac{1}{x}+c}\)
ponieważ całkujemy również wnętrze?

Z poważaniem.

A jak uzasadnisz tę "równość"?

Równość jest fałszywa, a pytanie niezrozumiałe: jakie "wnętrze"?

JK

Dodano po 17 godzinach 54 minutach 42 sekundach:
Bez LaTeXa nie pójdzie - tu jest instrukcja: latex.

JK

\(\displaystyle{
\int{\sin{\left( \frac{1}{x}\right) }\mbox{d}x}\\
}\)

Całkujemy przez części

\(\displaystyle{
\int{\sin{\left( \frac{1}{x}\right) }\mbox{d}x}=x\sin{\left( \frac{1}{x}\right) }-\int{x \cdot \cos{\left( \frac{1}{x} \right) } \cdot \left( -\frac{1}{x^2}\right) \mbox{d}x}\\
\int{\sin{\left( \frac{1}{x}\right) }\mbox{d}x}=x\sin{\left( \frac{1}{x}\right) } + \int{\cos{\left( \frac{1}{x} \right) } \cdot \frac{1}{x} \mbox{d}x}\\
}\)


Teraz stosujemy podstawienie \(\displaystyle{ t=\frac{1}{x}}\)



\(\displaystyle{
\int{\sin{\left( \frac{1}{x}\right) }\mbox{d}x}=x\sin{\left( \frac{1}{x}\right) } + \int{\cos{\left( \frac{1}{x} \right) } \cdot \frac{1}{x} \mbox{d}x}\\
\int{\cos{\left( \frac{1}{x} \right) } \cdot \frac{1}{x} \mbox{d}x}\\
t = \frac{1}{x} \\
\mbox{d}t = -\frac{1}{x^2}\mbox{d}x\\
\mbox{d}t = -t^2\mbox{d}x\\
\mbox{d}x=-\frac{1}{t^2}\mbox{d}t\\
\int{\cos{\left( \frac{1}{x} \right) } \cdot \frac{1}{x} \mbox{d}x}=-\int{\cos{\left( t\right) }\cdot t \cdot\left( -\frac{1}{t^2}\right) }\\
\int{\cos{\left( \frac{1}{x} \right) } \cdot \frac{1}{x} \mbox{d}x}=-\int{\frac{\cos{\left( t\right) }}{t}\mbox{d}t}\\
\int{\sin{\left( \frac{1}{x}\right) }\mbox{d}x}=x\sin{\left( \frac{1}{x}\right) }-\mathrm{Ci}\left(\frac{1}{x} \right) +C\\
}\)

czy mogę zastosować podstawienie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x}=t}\)
\(\displaystyle{ \frac{-1}{x^2}dx=dt}\)
i zapisać
\(\displaystyle{ \int{-x^2}\cdot \sin t dt}\)
do dalszego całkowania przez części?

lub
\(\displaystyle{ \int\frac{-1}{t^2}\cdot \sin t dt}\)
i także do dalszego całkowania przez części

następnie doprowadzenie do postaci

\(\displaystyle{ \int\frac{\sin t}{t}dt =\sum_{n=1}^{k}\frac{t^a}{(2n-1)\cdot(2n-1)!}}\)
gdzie
\(\displaystyle{ a=2n-1}\)
\(\displaystyle{ k=\not\sim}\)

Tak jak ci wygodniej to możesz najpierw podstawić
W swojej całce musisz pamiętać że x jest funkcją zmiennej t
i wyrazić tę funkcję x za pomocą zmiennej t
Jak chcesz rozwijać w szereg to pamiętaj że po scałkowaniu przez części będziesz miał cosinusa do rozwinięcia