Matematyka.pl

Ano tak się składa, że ja zauważyłem tylko jakoś nie pomyślałem o tym by się tym z innymi podzielić.
Dla tych co nie zauważyli:

w czym problem ? wystarczy znaleźć dzielniki liczby 33 685 505 (tak sobie w pamięci policzyłem )

Dawno nie spotkałem się z nierównością, którą byłbym w stanie zrobić na tyle sposobów
Już nawet algorytm wymyśliłem:
1) bierzemy jakaś znaną nierówność i ją wykorzystujemy :]
2) korzystamy z jednej z poniższych równości:
\sum_{k=0}^{n} = 2^n
\sum_{k=0}^{n} k = n2^{n-1}
\sum_{k=0}^{n} k^2 = n(n ...

Daje, daje.
Trzeba dalej tak wykombinować, by P i Q się skróciły. Pozostanie następująca nierówność do udowodnienia:
\sum_{i=1}^{3} \frac{ctg _i}{sin \phi_i} qslant 2
Rzecz jasna \sum_{i=1}^{3} _i = \sum_{i=1}^{3} \phi_i = \pi
Tu się trochę zaciąłem, więc zrobiłem na chama - Czybyszew i dwa razy ...

Hmm, ja też nie znalazłem tamtego rozwiązania, więc może podam jak ja je zrobiłem:
2. S_n = \sum^{n}_{k=1} k2^{k}
S_n = 2S_n - S_n = \sum^{n}_{k=1} k2^{k+1} - \sum^{n}_{k=1} k2^{k} = \sum^{n+1}_{k=2} (k-1)2^{k} - \sum^{n}_{k=1} k2^{k} = \sum^{n+1}_{k=2} k2^{k} - \sum^{n+1}_{k=2} 2^{k} - \sum^{n ...

Ta gwiazda to dwa trójkąty równoboczne, symetryczne względem środka okręgu.
Środek okręgu to przecięcie się środkowych, skąd łatwo dalej policzyć wszystko co potrzeba.

Założenie wynika z tego że \(\displaystyle{ k < 2^k}\), co da się udowodnić indukcją.
Krok indukcyjny: \(\displaystyle{ k+1 < 2k < 2^{k+1}}\)

3.
Tam powinno być \(\displaystyle{ 2^{n^2}}\) ?
Jeśli tak to wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ n+1 < 2^{2n+1}}\) i indukcja

Można też szacować:
\(\displaystyle{ n! < 2^{\frac{n(n+1)}{2}} < 2^{n^2}}\)

Qń pisze: Dla jasności - splendor za rozwiązanie zadania należy się jaco, ja tylko dopowiadam szczegóły .

Splendor - jak to dumnie brzmi :]
A to że pisze lakoniczne wyjaśnienie wynika z mojego lenistwa i chęci by inni wykazali się intelektualną aktywnością.

Rozważamy wielomiany \(\displaystyle{ P(x)=(x + \frac{1}{2})(x + \frac{1}{3})...(x + \frac{1}{100})}\) i \(\displaystyle{ Q(x)=(x - \frac{1}{2})(x - \frac{1}{3})...(x - \frac{1}{100})}\) punktach \(\displaystyle{ x=1}\)

edit - sory, że wcześniej miałem błąd, teraz jest dużo bardziej wymowne

jeśli mnie pamięć nie myli to _el_doopa twierdził, że 2 jest najtrudniejsze z pierwszego etapu ;]
ja ocenie zadania wg kolejności mojego rozwiązania:
2,3,1
5,4,6

robin5hoof dosyć oryginalna ta twoja metoda

przecież wystarczy tak:
(a_{n+1} - 19a_n )^2 = 144(\frac{5a_n^2 - 3}{2})
a^2_{n+1} - 38 a_{n+1} a_{n} + 361 a_n^2 = 360 a_n^2 - 216
a^2_{n+1} - 38 a_{n+1} a_{n} +a_n^2 = - 216
Podobnie:
a^2_{n} - 38 a_{n} a_{n-1} + a_{n-1}^2 = - 216
Odejmujemy ...

Teraz na naukę to już raczej za późno. No chyba, że się od razu szykujesz na finał ;]

Dowód jest bardzo prosty. Przy ustalonym y można uznać \(\displaystyle{ P(x,y)}\) za wielomian jednej zmiennej, a jego podzielność przez dany wielomian wynika od razu z twierdzenia Bezout.

A nie jest W swoich rozważaniach nie musiałem z tego korzystać i wyszło to co napisałem wyżej.

edit - jednak w dowodzie mam lukę. Zapomniałem, że funkcja nie musi być określona w 1
Będę musiał dalej popracować.