[Planimetria] W duże koło wpisano 6 małych

kluczyk · Post autor: **kluczyk** » 3 mar 2008, o 22:48

W "duże" koło o promieniu R wpisano sześć przystających "małych" kół tak, że każde "małe" koło jest styczne wewnętrznie do "dużego" koła i każde "małe" koło jest styczne zewnętrznie do dwóch "małych" kół. Wszystkie punkty styczności połączono odcinkami tworząc symetryczną gwiazdę sześcioramienną. Oblicz długość łamanej wyznaczającej brzeg tej gwiazdy oraz pole obszaru ograniczonego tą łamaną.

bosa_Nike · Post autor: **bosa_Nike** » 5 mar 2008, o 06:14

O ile dobrze zrozumiałam, to figura ma wyglądać jak na rysunku.

: AU; Kolo.jpg (13.51 KiB) Przejrzano 236 razy

Jeżeli tak, no to wtedy \(\displaystyle{ L=4\sqrt{3}R,\ S=\sqrt{3}R^2}\).

kluczyk · Post autor: **kluczyk** » 5 mar 2008, o 09:11

ok, dzięki.A jak do tego doszłaś?

jaco1024 · Post autor: **jaco1024** » 5 mar 2008, o 10:21

Ta gwiazda to dwa trójkąty równoboczne, symetryczne względem środka okręgu.
Środek okręgu to przecięcie się środkowych, skąd łatwo dalej policzyć wszystko co potrzeba.

arpa007 · Post autor: **arpa007** » 6 mar 2008, o 23:10

srednica czyli \(\displaystyle{ 2r}\) to nic innego jak 4 wysokosci trojkatow rownobocznych(dlaczego?)
a wiec \(\displaystyle{ \frac{ \frac{R}{2} }{ \frac{ \sqrt{3} }{2} } = \frac{ \sqrt{3} R}{3}}\) - bok trojkata rownobocznego.
Mamy 12 takich bokow wiec \(\displaystyle{ 12 \frac{ \sqrt{3} R}{3}=4 \sqrt{3}R}\)

dzieki;]

bosa_Nike · Post autor: **bosa_Nike** » 6 mar 2008, o 23:39

Nie powinieneś mnożyć przez \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2}}\), tylko dzielić, bo to z wysokości liczysz bok, a nie odwrotnie.