[Nierówności] Nierówność z symbolem Newtona

[Sylwek]

Bardzo fajna, chociaż nie za trudna . Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n qslant 2}\) zachodzi nierówność:

\(\displaystyle{ 1 \sqrt{{n \choose 1}} + 2 \sqrt{{n \choose 2}} + \ldots + n \sqrt{{n \choose n}} < \sqrt{2^{n-1} n^3}\)

[bosa_Nike]

Hmmm... Schwarz? Taki pomysł:
\(\displaystyle{ \left(1\cdot\sqrt{n \choose 1}+2\cdot\sqrt{n \choose 2}+...+n\cdot\sqrt{n \choose n}\right)^2}\)

[przemk20]

\(\displaystyle{ k \sqrt{ } + (n-k) \sqrt{ {n \choose n-k}} = n \sqrt{ \\}\)

[jaco1024]

Dawno nie spotkałem się z nierównością, którą byłbym w stanie zrobić na tyle sposobów
Już nawet algorytm wymyśliłem:
1) bierzemy jakaś znaną nierówność i ją wykorzystujemy :]
2) korzystamy z jednej z poniższych równości:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} = 2^n}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} k = n2^{n-1}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} k^2 = n(n+1)2^n}\)
3) teraz to już dziecinada

Pokaże dla przykładu:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} k \sqrt{{n \choose k}} < \sqrt{\frac{1}{2} n(n+1) \sum_{k=0}^{n} k{n \choose k}} = \sqrt{2^{n-1} \frac{n^3 + n^2}{2}} < \sqrt{2^{n-1} n^3}}\)

Mam nadzieje Sylwek, że coś lepszego wymyśliłeś :]

[Sylwek]

Mam tą nierówność z książeczki (podobno) dla gimnazjum i liceum (zielony Pawłowski z krową), to szukałem jak najbardziej elementarnego dowodu, aż w końcu znalazłem i nie mogłem uwierzyć, że działa oO . No to może zaprezentuję swoje rozwiązanie:


Korzystając ze znanej tożsamości \(\displaystyle{ {n \choose k}={n \choose n-k}}\) przekształcamy tezę równoważnie:
\(\displaystyle{ \begin{cases}0 \cdot \sqrt{{n \choose 0}}+ 1 \cdot \sqrt{{n \choose 1}} + 2 \cdot \sqrt{{n \choose 2}} + \ldots + n \cdot \sqrt{{n \choose n}} < \sqrt{2^{n-1} \cdot n^3 \\ n \cdot \sqrt{{n \choose 0}}+ (n-1) \cdot \sqrt{{n \choose 1}} + (n-2) \cdot \sqrt{{n \choose 2}} + \ldots + 0 \cdot \sqrt{{n \choose n}} < \sqrt{2^{n-1} \cdot n^3\end{cases}}\)


Dodając stronami:
\(\displaystyle{ n \cdot \sqrt{{n \choose 0}} + n \cdot \sqrt{{n \choose 1}} + \ldots + n \cdot \sqrt{{n \choose n}} < 2 \cdot \sqrt{2^{n-1} \cdot n^3} \\ n \cdot (\sqrt{{n \choose 0}} + \sqrt{{n \choose 1}}+ \ldots + \sqrt{{n \choose n}})< \sqrt{2^{n+1} \cdot n^3} \\ \sqrt{{n \choose 0}} + \sqrt{{n \choose 1}}+ \ldots + \sqrt{{n \choose n}} < \sqrt{2^{n+1} \cdot n} \ (*)}\)


Zatem zostało nam udowodnić nierówność (*). Ale z nierówności pomiędzy średnią kwadratową a arytmetyczną:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{{n \choose 0}} + \sqrt{{n \choose 1}}+ \ldots + \sqrt{{n \choose n}}}{n} = \frac{2+\sqrt{{n \choose 1}}+\ldots+\sqrt{{n \choose n-1}}}{n} < \\ <\sqrt{\frac{2^2+{n \choose 1} + {n \choose 2} + \ldots + {n \choose n-1}}{n}}=\sqrt{\frac{2+{n \choose 0}+{n \choose 1} + {n \choose 2} + \ldots + {n \choose n-1} + {n \choose n}}{n}}=\sqrt{\frac{2^n+2}{n}}}\)

Równoważnie:
\(\displaystyle{ \sqrt{{n \choose 0}} + \sqrt{{n \choose 1}}+ \ldots + \sqrt{{n \choose n}} < \sqrt{(2^n+2) \cdot n}}\)

Zostaje tylko udowodnić, że: \(\displaystyle{ \sqrt{(2^n+2)n}<\sqrt{2^{n+1} \cdot n}}\) - a tego już nie trzeba komentować . Jak widać nierówność "troszkę" przeszacowana, prawa strona jest zwykle ponad \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) raza większa niż lewa - więc sposobów na dowodzenie jest co nie miara.