[MIX] Rozne zad z kolka olimpijskiego na UŚ

[chris139]

1. Dane śa trzy dziesięciocyfrowe liczby pierwsze a, b, c, przy czym suma sześcianów dowolnych dwóch z nich jest podzielna przez trzecią z liczb. Udowodnij, że suma a+b+c jest podzielna przez chociaż jedną z danych liczb.
2. Wykaż że liczba
2^1111 ma więcej niż 333 cyfr
3. Dana jest liczba całkowita dodatnia n. Co jest większe
\(\displaystyle{ n!}\) czy \(\displaystyle{ 2^{n^2}}\)
4. Wykaż, że jeśli liczba rzeczywista a jest rozwiązaniem równania
\(\displaystyle{ x^3-3x+1=0}\) to liczba
\(\displaystyle{ a^2-2}\) tez jest rozwiazaniem tego rownania

[Wasilewski]

2)
\(\displaystyle{ 2^{10} > 10^{3} \\
2^{10^{111}} > 10^{333} \\
2^{1110} > 10^{333} \Rightarrow 2^{1111} > 10^{333}}\)
Liczba po prawej ma 334 cyfry, a ta po lewej jest od niej większa.

[jaco1024]

3.
Tam powinno być \(\displaystyle{ 2^{n^2}}\) ?
Jeśli tak to wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ n+1 < 2^{2n+1}}\) i indukcja

Można też szacować:
\(\displaystyle{ n! < 2^{\frac{n(n+1)}{2}} < 2^{n^2}}\)

[bosa_Nike]

4. Z podstawienia: \(\displaystyle{ W(a^2-2)=W(a)\cdot\left(W(a)-2\right)}\)

[Qń]

W czwartym można też dla uproszczenia rachunków skorzystać z tego, że skoro \(\displaystyle{ a^3-3a+1=0}\), to
\(\displaystyle{ a^2-2=1 - \frac{1}{a}}\) i sprawdzić, że to co po prawej stronie jest pierwiastkiem naszego równania.

Q.

[chris139]

3 mi nie wychodzi moglby ktos pokazac reszte juz mam dzieki

[Gierol]

3 mi nie wychodzi moglby ktos pokazac reszte juz mam dzieki

zwykla indukcja wychodzi. jesli nadal nie wiesz jak, to wieczorem Ci opisze dokladnie

[chris139]

bardziej chodzi mi o wyprowadzenie zalozenia, z tym mam problem
pozniej juz sobie poradze

[jaco1024]

Założenie wynika z tego że \(\displaystyle{ k < 2^k}\), co da się udowodnić indukcją.
Krok indukcyjny: \(\displaystyle{ k+1 < 2k < 2^{k+1}}\)

[Ponewor]

1.:    

Po co odkopuję te wątek? By znów się zachwycić cudowną tożsamością \(\displaystyle{ p^{3}+q^{3}+r^{3}-3pqr=\frac{1}{2}\left(p+q+r\right)\left(\left(p-q\right)^{2}+\left(q-r\right)^{2}+\left(r-p\right)^{2}\right)}\)
skąd przy założeniu nieprawdziwości tezy otrzymujemy \(\displaystyle{ pqr \mid \left(p-q\right)^{2}+\left(q-r\right)^{2}+\left(r-p\right)^{2}}\)
A tu do czegoś się przydaje egzotycze założenie o dziesięciocyfrowości tych liczb, a przydaje się w ten sposób, że można oszacować, że dzielnik jest więkzy od dzielnej.

[Kartezjusz]

Ukryta treść:    

1.:    

Po co odkopuję te wątek? By znów się zachwycić cudowną tożsamością \(\displaystyle{ p^{3}+q^{3}+r^{3}-3pqr=\frac{1}{2}\left(p+q+r\right)\left(\left(p-q\right)^{2}+\left(q-r\right)^{2}+\left(r-p\right)^{2}\right)}\)
skąd przy założeniu nieprawdziwości tezy otrzymujemy \(\displaystyle{ pqr \mid \left(p-q\right)^{2}+\left(q-r\right)^{2}+\left(r-p\right)^{2}}\)
A tu do czegoś się przydaje egzotycze założenie o dziesięciocyfrowości tych liczb, a przydaje się w ten sposób, że można oszacować, że dzielnik jest więkzy od dzielnej.

A możesz to twierdzenie zacytować?

[Ponewor]

Przepraszam, jakie twierdzenie?