[Nierówności][Planimetria] Trójkąty a pola

[Sylwek]

Trójkąt o bokach długości \(\displaystyle{ a,b,c}\) ma pole \(\displaystyle{ P}\), a trójkąt o bokach \(\displaystyle{ u,v,w}\) ma pole \(\displaystyle{ Q}\).
Udowodnij, że:

\(\displaystyle{ a^2(-u^2+v^2+w^2)+b^2(u^2-v^2+w^2)+c^2(u^2+v^2-w^2) qslant 16 P Q}\)

[Swistak]

Nie wiem czy to coś daje, ale to co jest w nawiasach wg twierdzenia cosinusów przekształciłem na kolejno \(\displaystyle{ 2vwc os \\
2uw cos \beta \\
2uv cos \gamma}\)

[jaco1024]

Daje, daje.
Trzeba dalej tak wykombinować, by \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) się skróciły. Pozostanie następująca nierówność do udowodnienia:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{3} \frac{ctg _i}{sin \phi_i} qslant 2}\)
Rzecz jasna \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{3} _i = \sum_{i=1}^{3} \phi_i = \pi}\)
Tu się trochę zaciąłem, więc zrobiłem na chama - Czybyszew i dwa razy Jensen.

[Sylwek]

Podpowiedź: najpierw Schwarz, potem Heron

[ Dodano: 19 Marca 2008, 09:07 ]
Albo z twierdzenia sinusów i cosinusów, na historii wyszło