[Kombinatoryka] Iloczyn elementów podzbiorów

[Sylwek]

Rozważmy wszystkie podzbiory zbioru \(\displaystyle{ \lbrace \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots , \frac{1}{100} \rbrace}\), które mają parzystą liczbę elementów. Dla każdego z tych podzbiorów policzmy iloczyn jego elemetów. Znajdź sumę tak otrzymanych iloczynów.

[jaco1024]

Rozważamy wielomiany \(\displaystyle{ P(x)=(x + \frac{1}{2})(x + \frac{1}{3})...(x + \frac{1}{100})}\) i \(\displaystyle{ Q(x)=(x - \frac{1}{2})(x - \frac{1}{3})...(x - \frac{1}{100})}\) punktach \(\displaystyle{ x=1}\)

edit - sory, że wcześniej miałem błąd, teraz jest dużo bardziej wymowne

[Sylwek]

Mógłbyś napisać coś więcej? Poza tym te wielomiany są wielomianami stałymi, także to, że rozważamy je w punkcie \(\displaystyle{ x=1}\) niewiele zmienia. No i czemu akurat takie wielomiany? Dzięki z góry.

[Qń]

Idea niezgrabnie zapisana, ale bardzo ładna. Szukana suma jest równa:
\(\displaystyle{ \frac{(1 + \frac{1}{2})(1 + \frac{1}{3})...(1 + \frac{1}{100}) +(1 - \frac{1}{2})(1 - \frac{1}{3})...(1 - \frac{1}{100})}{2} -1 = \frac{\frac{101}{2} +\frac{1}{100}}{2} -1}\)
Dlaczego tak? Wystarczy zauważyć, że w liczniku pierwszego ułamka każdy iloczyn parzystej ilości elementów z naszego zbioru jest liczony dwa razy (\(\displaystyle{ 1+1}\)), a iloczyn nieparzystej ilości - zero razy (\(\displaystyle{ 1-1}\)). Mam nadzieję, że widać też dlaczego trzeba odjąć jedynkę.

Dla jasności - splendor za rozwiązanie zadania należy się jaco, ja tylko dopowiadam szczegóły .

Q.

[jaco1024]

Dla jasności - splendor za rozwiązanie zadania należy się jaco, ja tylko dopowiadam szczegóły .

Splendor - jak to dumnie brzmi :]
A to że pisze lakoniczne wyjaśnienie wynika z mojego lenistwa i chęci by inni wykazali się intelektualną aktywnością.

[qsiarz]

jedynke trzeba odjac bo mamy dwa razy iloczyn samych jedynek (po 1 w kazdym wielomianie) ale to proste sie okazalo. swietne rozwiazanie.