Matematyka.pl

Niech \left( X,d_X \right) i \left( Y,d_Y \right) będą przestrzeniami metrycznymi. Rozważmy w przestrzeni X \times Y metrykę:
d \left( \left( x_1,y_1 \right) , \left( x_2,y_2 \right) \right) :=d_X \left( x_1,x_2 \right) +d_Y \left( y_1,y_2 \right)
wykazać, że
a) jeżeli przestrzenie \left( X,d_X ...

ale \(\displaystyle{ \arccot x}\) jest funkcją malejącą.

rozwiązać równanie:
\(\displaystyle{ \frac{x}{2}+ \arccot {x}=0}\)

Niech A=(1,2)]\times\{0\}
Zbadać otwartość (domkniętość) zbioru A , gdy w \RR^2 jest metryka euklidesowa (dyskretna, rzeka). Wyznaczyć domknięcia i wnętrza wymienionych zbiorów w metrykach.
Bardzo proszę o pomoc w tym zadaniu bo kompletnie nie wiem jak się za to zabrać i jak to robić, a mam więcej ...

znaleźć granicę górną i dolną:
\(\displaystyle{ a_{n}= \sqrt{n}- \left[ \sqrt{n} \right]}\)
ma być ,,podłoga" z n a nie cecha

W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) dane są punkty \(\displaystyle{ A=(0,0), B=(6,2)}\) oraz jego ortocentrum \(\displaystyle{ H=(2,4)}\). Wyznacz współrzędne wierzchołka \(\displaystyle{ C}\) oraz pole tego trójkąta.
ortocentrum czyli punkt przeciecia się wysokości

Dany jest okrąg O(S,r). Udowodnij, że następujące warunki są równoważne:
a) Punkt P leży na biegunowej punktu Q;
b) f_{S,r}(P) + f_{S,r}(Q)=|PQ|^2

i rozpisałam sobie warunek a, tzn punkt P należy do biegunowej punktu Q gdy:
(p_{1}-x_{0})(q_{1}-x_{0})+(p_{2}-y_{0})(q_{2}-y_{0})=r^2 gdzie P=(p_{1 ...

udowodnić, że \frac{sinx + cos(2y-x)}{cosx - sin(2y-x)}=ctg( \frac{ \pi }{4}-y)
i zaczęłam rozpisywać prawą stronę następująco:
\frac{sinx +cos2ycosx + sin2ysinx}{cosx-sin2ycosx +cos2ysinx}=
\frac{sinx+(2cos^2y -1)cosx + (2sinycosy)sinx}{cosx-(2sinycosy)cosx+(2cos^2y-1)sinx}=
\frac{sinx(1 ...

Dany jest trójkąt PQR. Punkty \(\displaystyle{ P_{H}, G_{H}, R_{H}}\) oznaczają spodki wysokości opuszczone z wierzchołków P, G i R odpowiednio. Punt H oznacza ortocentrum trójkąta tj. punkt przecięcia wysokości. Udowodnij, że zachodzi równość:
\(\displaystyle{ |PH|*|HP_{H}|=|QH|*|HQ_{H}|=|RH|*|HR_{H}|}\)

Wyznaczyć kresy zbioru:
\(\displaystyle{ C= \left\{ \frac{n}{n+k} , n,k \in N \right\}}\)

Zbadać monotoniczność i ograniczoność ciągu rekurencyjnego, gdzie:
\(\displaystyle{ a_1=\sqrt{2}}\), \(\displaystyle{ a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}}\) \(\displaystyle{ n \in N}\)

Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość R, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość r. Wyraź obwód tego trójkąta za pomocą R i r.

w trójkącie ABC wysokość opuszczona z wierzchołka C i środkowa wychodząca z wierzchołka C dzielą kąt przy wierzchołku C na trzy przystające kąty. Oblicz miarę kąta przy wierzchołku C.

a)Rozwiąż równanie z^4+2z^3+9z^2+8z+20=0 w dziedzinie zespolonej, wiedząc że z=2i jest jednym z rozwiązań.
b)Niech w_1=-4+3i oraz w_5=4-3i bedą przeciwległymi wierzchołkami ośmiokąta foremnego na płaszczyźnie zespolonej. Wykorzystując własności liczb zespolonych, wyznacz postać algebraiczną liczb ...

Niech A=M_f(B_1,B_2)= \begin{bmatrix}3& 0 \\ 2&1\\1&-1\end{bmatrix}: będzie macierzą odwzorowania liniowego f:U->V a C=M_g(B_3,B_1)= \begin{bmatrix}1& -1&1 \\ -1&1&-2 \end{bmatrix}: macierzą odwzorowania g:V->U
a) Znajdź D=M_{f\circ g}(B_2,B_2) jeżeli wiadomo, że B_1=(u_1,u_2), B_2=(v_1,v_2,v_3), B ...