obwód trójkąta

[22mz]

Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość R, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość r. Wyraź obwód tego trójkąta za pomocą R i r.

[lukasz1804]

Niech \(\displaystyle{ x,y}\) oznaczają długości przyprostokątnych, a \(\displaystyle{ z}\) długość przeciwprostokątnej w trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\).
Ponieważ środek okręgu opisanego na tym trójkącie leży na przeciwprostokątnej, to \(\displaystyle{ z=2R}\).
Ze wzoru na pole trójkąta mamy \(\displaystyle{ \frac{xy}{2}=\frac{x+y+2R}{2}r}\), tj. \(\displaystyle{ xy=(x+y+2R)r}\).
Z kolei z twierdzenia Pitagorasa mamy \(\displaystyle{ x^2+y^2=(2R)^2=4R^2}\). Zatem \(\displaystyle{ (x+y)^2=2xy+4R^2=2r(x+y)+4R(R+r)}\), czyli

\(\displaystyle{ (x+y)^2-2r(x+y)-4R(R+r)=0}\).

Spróbuj wyznaczyć wartość \(\displaystyle{ x+y}\) jako dodatni pierwiastek równania.

Zauważ następnie, że obwód wynosi \(\displaystyle{ x+y+z=(x+y)+2R}\).

[kropka+]

Trzymając się poprzednich oznaczeń można skorzystać z gotowych wzorów:

\(\displaystyle{ R= \frac{z}{2}\\ \\
r= \frac{x+y-z}{2}}\)

Z tego wyznaczamy obwód: \(\displaystyle{ x+y+z=...}\)