topologia - zupełność, zwartość, ośrodkowość

[22mz]

Niech \(\displaystyle{ \left( X,d_X \right)}\) i \(\displaystyle{ \left( Y,d_Y \right)}\) będą przestrzeniami metrycznymi. Rozważmy w przestrzeni \(\displaystyle{ X \times Y}\) metrykę:
\(\displaystyle{ d \left( \left( x_1,y_1 \right) , \left( x_2,y_2 \right) \right) :=d_X \left( x_1,x_2 \right) +d_Y \left( y_1,y_2 \right)}\)
wykazać, że
a) jeżeli przestrzenie \(\displaystyle{ \left( X,d_X \right)}\) i \(\displaystyle{ \left( Y,d_Y \right)}\) są ośrodkowe, to przestrzeń \(\displaystyle{ \left( X \times Y , d \right)}\) jest ośrodkowa
b) jeżeli przestrzenie \(\displaystyle{ \left( X,d_X \right)}\) i \(\displaystyle{ \left( Y,d_Y \right)}\) są zupełne, to przestrzeń \(\displaystyle{ \left( X \times Y , d \right)}\) jest zupełna
c) jeżeli przestrzenie \(\displaystyle{ \left( X,d_X \right)}\) i \(\displaystyle{ \left( Y,d_Y \right)}\) są zwarte, to przestrzeń \(\displaystyle{ \left( X \times Y , d \right)}\) jest zwarta

[Barbara777]

a) Niech \(\displaystyle{ (A_j), (B_j)}\) osrodki w \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\), odpowiednio.
Wtedy \(\displaystyle{ (A_j\times B_j)}\) jest osrodkiem w \(\displaystyle{ X\times Y}\) bo
Niech \(\displaystyle{ \varepsilon >0}\) i niech \(\displaystyle{ (x_0,y_0)\in X\times Y}\)

Istnieja \(\displaystyle{ a\in A, \; b\in B}\) takie, ze \(\displaystyle{ d_X(x_0, a)<\frac{\varepsilon}{2}}\) i \(\displaystyle{ d_Y(y_0, b)<\frac{\varepsilon}{2}}\)
Mamy

\(\displaystyle{ d((x_0,y_0), (a,b))=d_X(x_0,a)+d_Y(y_0,b)<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon}\)

Iloczyn kartezjanski jest zbiorem przeliczalnym, zatem osrodkowosc przestrzeni \(\displaystyle{ X\times Y}\) jest wykazana.

b) Niech \(\displaystyle{ (x_n,y_n)}\) bedzie ciagiem Cauchy w \(\displaystyle{ X\times Y}\).
Z definicji metryki w \(\displaystyle{ X\times Y}\) otrzymujemy natychmiast, ze ciagi \(\displaystyle{ (x_n)}\) i \(\displaystyle{ (y_n)}\) sa cigami Cauchy odpowiednio w \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\). Poniewaz przestrzenie te sa zupelne, istnieja \(\displaystyle{ x_0\in X, \; y_0\in Y}\) takie, ze

\(\displaystyle{ d_X(x_n,x_0)\rightarrow 0 \quad \quad d_Y(y_n,y_0)\rightarrow 0}\)
Punkt \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\) jest granica ciagu \(\displaystyle{ (x_n,y_n)}\) w \(\displaystyle{ X\times Y}\), gdyz

\(\displaystyle{ d((x_n,y_n),(x_0,y_0))= d_X(x_n,x_0)+d_Y(y_n,y_0)\rightarrow 0, \quad\quad n\to\infty}\)

c) Opisze, jak zrobic. Bierzemy dowolne pokrycie \(\displaystyle{ A_\alpha\timesB\alpha}\) przstrzeni \(\displaystyle{ X\times Y}\). Wybieramy podpokrycie skonczone w \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\), odpowiednio. Iloczyn kartezjanski tych skonczonych pokryc bedzie skonczonym pokryciem \(\displaystyle{ X\times Y}\)
Trzeba jeszcze pokazac, ze \(\displaystyle{ A\alpha}\) i \(\displaystyle{ B_\alpha}\) sa otwarte.

[yorgin]

c) Opisze, jak zrobic. Bierzemy dowolne pokrycie \(\displaystyle{ A_\alpha\times B_\alpha}\) przstrzeni \(\displaystyle{ X\times Y}\). Wybieramy podpokrycie skonczone w \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\), odpowiednio. Iloczyn kartezjanski tych skonczonych pokryc bedzie skonczonym pokryciem \(\displaystyle{ X\times Y}\)
Trzeba jeszcze pokazac, ze \(\displaystyle{ A_\alpha}\) i \(\displaystyle{ B_\alpha}\) sa otwarte.

W \(\displaystyle{ X\times Y}\) pokrycie jest takie:

\(\displaystyle{ \{U_i\times V_i: i\in I\}}\)

gdzie \(\displaystyle{ U_i\subset X, V_i\subset Y}\) są otwarte.

Jak z tego wybierasz najpierw pokrycia \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\), a potem jak skończone? To wcale
takie oczywiste nie jest...

[Barbara777]

Jesli \(\displaystyle{ X\times Y = \bigcup_{\alpha} (A_{\alpha}\times B_{\alpha})}\) to \(\displaystyle{ X=\bigcup_{\alpha}A_{\alpha}}\) i \(\displaystyle{ Y=\bigcup_{\alpha}B_{\alpha}}\)
Ze zwartosci X i Y mamy

\(\displaystyle{ X=\bigcup_{i=1}^nA_{\alpha_i}\quad\quad}\) i \(\displaystyle{ \hspace{3mm}Y=\bigcup_{j=1}^mB_{\alpha_j}}\)

Wtedy

\(\displaystyle{ X\times Y=\bigcup_{i=1}^nA_{\alpha_i}\times\bigcup_{j=1}^mB_{\alpha_j}=\bigcup_{i=1}^n\bigcup_{j=1}^m\Big(A_{\alpha_i}\times B_{\alpha_j}\Big)}\)

[yorgin]

\(\displaystyle{ X=\bigcup_{i=1}^nA_{\alpha_i}\quad\quad}\) i \(\displaystyle{ \hspace{3mm}Y=\bigcup_{j=1}^mA_{\alpha_j}}\)

Tu chyba coś nie tak z nazwami zbiorów.

Wtedy

\(\displaystyle{ X\times Y=\bigcup_{i=1}^nA_{\alpha_i}\times\bigcup_{j=1}^mA_{\alpha_j}=\bigcup_{i=1}^n\bigcup_{j=1}^m\Big(A_{\alpha_i}\times A_{\alpha_j}\Big)}\)

A skąd masz pewność, że te iloczyny kartezjańskie były w startowym pokryciu? Przy dobrych wiatrach Twoje wybrane podpokrycie ma więcej elementów, niż wyjściowe. W szczególności podpokryciem to nie jest.

[Barbara777]

Oznaczenie zbiorow poprawilam, dziekuje. Tak wyszlo przez tepe kopiowanie i wklejanie.

A skąd masz pewność, że te iloczyny kartezjańskie były w startowym pokryciu?

To wynika z konstrukcji. Rodzina\(\displaystyle{ A_{\alpha}\times B_{\alpha}}\) pokrywa zbior \(\displaystyle{ X\times Y}\). Sposrod wszystkich \(\displaystyle{ A_{\alpha}, \alpha\in I}\) wybieramy \(\displaystyle{ A_{\alpha_1},...,A_{\alpha_n}}\), a sposrod wszystkich \(\displaystyle{ B_{\alpha}}\) wybieramy \(\displaystyle{ B_{\alpha_1},...,B_{\alpha_m}}\).

Moze lepiej byloby oznaczyc zbior indeksow zbiorow B inna litera.

[yorgin]

Rodzina\(\displaystyle{ A_{\alpha}\times B_{\alpha}}\) pokrywa zbior \(\displaystyle{ X\times Y}\).

Owszem, ale to nie od tego pokrycia zaczynasz.

Dla przykładu, pokrywam przedział \(\displaystyle{ [0,7]^2}\). Mam wyjściowe pokrycie zbiorami

\(\displaystyle{ (-1,2)\times (-1,3), (1,5)\times(-1,3), (4,8)\times (-1,3)\\
(-1,8)\times (2,6)\\
(-1,2)\times (5,8), (1,5)\times(5,8), (4,8)\times (5,8)}\)

Przeanalizuj swój dowód na tym pokryciu.-- 2 czerwca 2013, 15:10 --

A skąd masz pewność, że te iloczyny kartezjańskie były w startowym pokryciu?

To wynika z konstrukcji. Rodzina\(\displaystyle{ A_{\alpha}\times B_{\alpha}}\) pokrywa zbior \(\displaystyle{ X\times Y}\). Sposrod wszystkich \(\displaystyle{ A_{\alpha}, \alpha\in I}\) wybieramy \(\displaystyle{ A_{\alpha_1},...,A_{\alpha_n}}\), a sposrod wszystkich \(\displaystyle{ B_{\alpha}}\) wybieramy \(\displaystyle{ B_{\alpha_1},...,B_{\alpha_m}}\).

Moze lepiej byloby oznaczyc zbior indeksow zbiorow B inna litera.

Masz pokrycie \(\displaystyle{ \{U_i\times V_i: i\in I\}}\) zbiorami otwartymi. Zgadzam się z tym, że \(\displaystyle{ \{U_i:i\in I\}}\) oraz \(\displaystyle{ \{V_i:i\in I\}}\) to pokrycia \(\displaystyle{ X}\) oraz \(\displaystyle{ Y}\). Ale jeśli weźmiesz

\(\displaystyle{ \{U_i:i\in I\}\times\{V_i:i\in I\}=\{U_i\times V_j:(i,j)\in I\times I\}}\)

to dostaniesz zupełnie inne pokrycie. A to właśnie z tego innego wybierasz podpokrycie, a nie z tego, od którego wszystko się zaczęło.

Tak jak napisałem w przykładzie, biorąc pokrycia każdego z odcinków \(\displaystyle{ [0,7]}\) odpowiednimi rzutami zbiorów otwartych na te odcinki, dostaniesz co prawda pokrycia otwarte, ale jeśli wymnożysz kartezjańsko te rzuty na wszystkie możliwe sposoby, to dostaniesz pokrycie istotnie różne od startowego, tzn takie, w którym są zbiory otwarte niebędące w wyjściowym pokryciu.

[Barbara777]

Tak, ja rozumiem, nawet nie trzeba było aż tak złożonego pokrycia, które podałeś. Chodzi o to, ze pokrycie w iloczynie kartezjańskim nie musi składać się ze zbiorów \(\displaystyle{ A \times B}\). Pomyślę nad innym dowodem, dziękuję.

[yorgin]

Dowód dla zwartości mam dostępny na komputerze. W razie potrzeby mogę go przytoczyć. Wskazówka, jak zacząć, jest poniżej.

Ukryta treść:    

Hint: Należy zacząć od pokrycia wybranej sekcji \(\displaystyle{ \{x\}\times Y}\) i z tego odzyskać zbiór otwarty zawierający \(\displaystyle{ x}\).

[yorgin]

Pełny dowód:

Warunek pokrycia: Wystarczy rozważyć pokrycia zbiorami bazowymi. Niech \(\displaystyle{ \{U_i\times V_i: i\in I\}}\) będzie otwartym pokryciem \(\displaystyle{ X\times Y}\).

Ustalmy \(\displaystyle{ x\in X}\) i niech \(\displaystyle{ I_x:=\{i\in I: x\in U_i\}}\). Wtedy \(\displaystyle{ \{U_i\times V_i: i\in I_x\}}\) jest pokryciem otwartym \(\displaystyle{ \{x\}\times Y\sim Y}\) (homeomorficzność).

Znajdziemy zatem ze zwartości \(\displaystyle{ n_x\in \NN}\) oraz \(\displaystyle{ i_{x,1},\ldots, i_{x_n_x}\in I_x}\) takie, że

\(\displaystyle{ \{x\}\times Y\subset (U_{i_x,1}\times V_{i_x,1})\cup\ldots \cup(U_{i_x,n_x}\times V_{i_x,n_x})}\)

Niech dalej \(\displaystyle{ U_x=U_{i_x,1}\cap\ldots\cap U_{i_x,n_x}}\) Wtedy

\(\displaystyle{ U_x\times Y\subset (U_{i_x,1}\times V_{i_x,1})\cup\ldots\cup (U_{i_x,n_x}\times V_{i_x,n_x})}\)

\(\displaystyle{ \{U_x:x\in X\}}\) jest pokryciem otwartym \(\displaystyle{ X}\). Niech więc \(\displaystyle{ k}\) będzie takie, że

\(\displaystyle{ X= U_{x_1}\cup\ldots\cup U_{x_k}}\)

Jesteśmy już prawie w domu. Mamy bowiem

\(\displaystyle{ \begin{aligned}
X\times Y & = (U_{x_1}\times Y)\cup\ldots \cup (U_{x_k}\times Y)\\[2ex]
& \subset (U_{i_{x_1},1}\times V_{i_{x_1},1})\cup\ldots \cup (U_{i_{x_1},n_{x_1}}\times V_{i_{x_1},n_{x_1}})\cup \ldots \cup (U_{i_{x_k},1}\times V_{i_{x_k},1})\cup\ldots \cup (U_{i_{x_k},n_{x_k}}\times V_{i_{x_k},n_{x_k}})
\end{aligned}}\)