Matematyka.pl

Rozwinąć w szereg cosinusów funkcje
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\ln \left(\ctg \left(\frac{x}{2}\right)\right)}\)
w przedziale \(\displaystyle{ \left(0,\pi\right)}\)
Ogólnie wiem jak robić zadanie, problem mam jedynie z obliczeniem całki :/

Jak przejdę na współrzędne biegunowe to mam \(\displaystyle{ \lim_{r \to 0} \frac{1-\cos(r^2)}{\frac{1}{2}r^6\sin2\phi}}\)
Jednak jakoś mi to nic nie mówi...

Jak obliczyć granicę tej funkcji?
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}\frac{1-\cos (x^2+y^2)}{(x^2+y^2)x^2y^2}}\)

Według odpowiedzi ona nie istnieje, ale dlaczego?

Dziękuje za odpowiedzi Chyba pomogło
Czy to ma być tak?
Jeżeli wiem że P(A) \subseteq P(B)
weźmy x \in A \Rightarrow \left\{ x\right\} \in P(A) \Rightarrow (z definicji zawierania) \left\{ x\right\} \in P(B) \Rightarrow x \in B
Zatem A \subseteq B
A teraz w drugą stronę, jeżeli wiem, że A ...

Wykazać że \(\displaystyle{ A \subseteq B \Leftrightarrow P(A) \subseteq P(B)}\)

Wydaje mi się że to nie jest trudne zadanie, ale nie mam pojęcia jak to zapisać i udowodnić.

Mamy twierdzenie, że jeżeli f: X \rightarrow Y to f jest iniekcją \Leftrightarrow \forall A,B \in X: f[A\cap B]=f[A]\cap f
Implikacje w prawą stronę rozumiem, ale w lewą nie rozumiem dlaczego w taki sposób mogę to dowieść, tak miałam na wykładach i w jednej książce tak jest, a mianowicie ...

Na razie wiem, że:
\bigcup_{t \in T} \bigcap_{s \in S} A_{ts}\subset \bigcap_{s \in S} \bigcup_{t \in T} A_{ts}
Żeby była równość to musiałoby być, że:
\bigcap_{s \in S} \bigcup_{t \in T} A_{ts} \subset\bigcup_{t \in T} \bigcap_{s \in S} A_{ts}

No i teraz nie wiem co muszę zrobić, żeby ...

Mam jeszcze jedno pytanie, czy jeżeli mam sprawdzić czy:
\bigcup_{t \in T} \bigcap_{s \in S} A_{ts}= \bigcap_{s \in S} \bigcup_{t \in T} A_{ts}
To mogę to rozpisać tak że:
x \in \left( \bigcup_{t \in T} \bigcap_{s \in S} A_{ts}\right) \Leftrightarrow (\exists t \in T)(\forall s \in S)(x \in A ...

Zbadać zbieżność szeregów:
a)\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\ln^{100}n}{n} \cdot \sin \frac {(2n+1) \pi }{2}}\)
b)\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (-1) ^{n} \cdot \frac{\sin^{2}n}{n}}\)

Nie wiem jak zabrać się za te zadania, w drugim myślałam o kryterium Leibniza, ale nie wiem czy mogę go zastosować

Dziękuje, teraz rozumiem
A jeśli chodzi o to drugie to czy można to zapisać tak, że jeśli mam że
x \in\bigcup_{t \in T} A _{t} \Rightarrow (\exists t \in S \cup W)(x \in A _{t}) \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow (\exists t \in S \vee t \in W)(x \in A _{t}) \Leftrightarrow (\exists t \in S)(x \in ...

Ok mój błąd, nie znam się jeszcze dobrze na pisaniu w LaTeXie. Czy tak jest lepiej?
\(\displaystyle{ x \in \left( \bigcup_{t \in T} A_{t} \cap \bigcup_{s \in S} B_{s} \right) \Leftrightarrow \exists t \in T : x \in A _{t} \wedge \exists s \in S: x \in B _{s}}\)

Mam sprawdzić czy \bigcup_{t \in T} A_{t} \cap \bigcup_{s \in S} B_{s} = \bigcup_{t \in T}\bigcup_{s \in S}( A_{t} \cap B _{s})

Lewą stronę rozpisuje sobie:
\vee _{t} : x \in A_{t} \cap \vee _{s}: x \in B _{s}

Nie wiem czy to jest dobrze, a kompletnie nie wiem jak rozpisać tą drugą stronę.

I ...

W jaki sposób robiliście to zadanie z nieciągłąścią funkcji?
Bo wynik mam ten sam, ale ponoć to trzeba było z granic robić a ja nic takiego nie robiłam

Samochód jechał przez godzinę z prędkością 90km/h, a potem przez pół godziny z prędkością 60 km/h. i przez te półtorej godziny przejechał całą zaplanowaną trasę. W jakim czasie przejechałby tę trasę, gdyby zwiększył śreną prędko

Widzieliście, są już podane jakie odpowiedzi powinny być