dowód iniekcja i iloczyn obrazów A B

[hejka4]

Mamy twierdzenie, że jeżeli \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\) to \(\displaystyle{ f}\) jest iniekcją \(\displaystyle{ \Leftrightarrow \forall A,B \in X: f[A\cap B]=f[A]\cap f}\)
Implikacje w prawą stronę rozumiem, ale w lewą nie rozumiem dlaczego w taki sposób mogę to dowieść, tak miałam na wykładach i w jednej książce tak jest, a mianowicie:
\(\displaystyle{ \Leftarrow}\)
Biorę
\(\displaystyle{ x_{1},x_{2}\in X: f(x_{1})=f(x_{2}) \\
niech \ A=\left\{x_{1}\right\} \ B =\left\{x_{2}\right\} \\
f[A]=\left\{f(x_{1})\right\} \ f=\left\{f(x_{2})\right\} \\
f[A]\cap f=\left\{f(x_{1})\right\}=f[A\cap B]\Rightarrow A\cap B\neq \emptyset\Rightarrow x_{1}=x_{2}}\)
Nie rozumiem dlaczego mogę tak robić, że biorę tak jakby jakieś konkretne zbiory, które sobię definiuje

[Dasio11]

Przy dowodzie w lewą stronę zakłada się, że dla każdych dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A, B \subseteq X}\) zachodzi \(\displaystyle{ f[A \cap B] = f[A] \cap f.}\) Jeśli więc wymyślisz sobie jakieś dwa konkretne zbiory, to dla nich powyższa równość także musi zachodzić.

[Jan Kraszewski]

Jeśli więc wymyślisz sobie jakieś dwa konkretne zbiory, to dla nich powyższa równość także musi zachodzić.

A cała trudność dowodu polega na tym, żeby wymyślić, jakie dwa konkretne zbiory rozważać.

JK