dowód suma uogólniona

[hejka4]

Mam sprawdzić czy \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} A_{t} \cap \bigcup_{s \in S} B_{s} = \bigcup_{t \in T}\bigcup_{s \in S}( A_{t} \cap B _{s})}\)

Lewą stronę rozpisuje sobie:
\(\displaystyle{ \vee _{t} : x \in A_{t} \cap \vee _{s}: x \in B _{s}}\)

Nie wiem czy to jest dobrze, a kompletnie nie wiem jak rozpisać tą drugą stronę.

I drugie zadanie z którym się męczę to:
Udowodnij że jeżeli \(\displaystyle{ \{A_{t}: t \in T\}}\) i \(\displaystyle{ T=S \cup W}\) to \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} A _{t}= \bigcup_{t \in S} A_{t} \cup \bigcup_{t \in W} A_{t}}\)

Nie wiem jak to formalnie zapisać

[Jan Kraszewski]

Lewą stronę rozpisuje sobie:
\(\displaystyle{ \vee _{t} : x \in A_{t} \cap \vee _{s}: x \in B _{s}}\)

Ten zapis nie ma sensu. Po pierwsze dlatego, że źle kodujesz kwantyfikatory, po drugie dlatego, że nie można zdań logicznych łączyć symbolem operacji mnogościowej. No i nie bardzo wiadomo, co to jest "rozpisanie lewej strony".

JK

[hejka4]

Ok mój błąd, nie znam się jeszcze dobrze na pisaniu w LaTeXie. Czy tak jest lepiej?
\(\displaystyle{ x \in \left( \bigcup_{t \in T} A_{t} \cap \bigcup_{s \in S} B_{s} \right) \Leftrightarrow \exists t \in T : x \in A _{t} \wedge \exists s \in S: x \in B _{s}}\)

[Jan Kraszewski]

Lepiej (choć ja wolę \(\displaystyle{ (\exists t \in T )\: x \in A _{t} \wedge (\exists s \in S)\: x \in B _{s}}\) - dla mnie jest czytelniej, ale to poniekąd kwestia gustu).

Teraz skorzystaj z prawa o włączaniu pod kwantyfikator wyrażenia bez zmiennej kwantyfikowanej przez ten kwantyfikator - dostaniesz

\(\displaystyle{ (\exists t \in T )( x \in A _{t} \wedge (\exists s \in S)\: x \in B _{s})}\)

a potem jeszcze raz to samo prawo i dostaniesz

\(\displaystyle{ (\exists t \in T )(\exists s \in S)( x \in A _{t} \wedge x \in B _{s}).}\)


JK

[hejka4]

Dziękuje, teraz rozumiem
A jeśli chodzi o to drugie to czy można to zapisać tak, że jeśli mam że
\(\displaystyle{ x \in\bigcup_{t \in T} A _{t} \Rightarrow (\exists t \in S \cup W)(x \in A _{t}) \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow (\exists t \in S \vee t \in W)(x \in A _{t}) \Leftrightarrow (\exists t \in S)(x \in A _{t}) \vee (\exists t \in W)(x \in A _{t}) \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow x \in \left( \bigcup_{t \in S} A_{t} \cup \bigcup_{t \in W} A_{t}\right)}\)

[Jan Kraszewski]

Myśl jest słuszna, ale zapis niepoprawny. Powinno być

\(\displaystyle{ x \in\bigcup_{t \in T} A _{t} \Leftrightarrow (\exists t)(t \in S \cup W\land x \in A _{t}) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (\exists t)((t \in S \vee t \in W)\land x \in A _{t}) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (\exists t)((t \in S\land x \in A _{t}) \vee (t \in W\land x \in A _{t}))\Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (\exists t \in S)(x \in A _{t}) \vee (\exists t \in W)(x \in A _{t}) \Leftrightarrow x \in \bigcup_{t \in S} A_{t} \lor x \in \bigcup_{t \in W} A_{t}\Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x \in \left( \bigcup_{t \in S} A_{t} \cup \bigcup_{t \in W} A_{t}\right)}\)

[hejka4]

Mam jeszcze jedno pytanie, czy jeżeli mam sprawdzić czy:
\(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} \bigcap_{s \in S} A_{ts}= \bigcap_{s \in S} \bigcup_{t \in T} A_{ts}}\)
To mogę to rozpisać tak że:
\(\displaystyle{ x \in \left( \bigcup_{t \in T} \bigcap_{s \in S} A_{ts}\right) \Leftrightarrow (\exists t \in T)(\forall s \in S)(x \in A _{ts})}\)
\(\displaystyle{ x \in \left(\bigcap_{s \in S} \bigcup_{t \in T} A_{ts}\right) \Leftrightarrow (\forall s \in S)(\exists t \in T)(x \in A _{ts})}\)

No i tutaj z rachunku kwantyfikatorów wiem, że
\(\displaystyle{ (\exists t \in T)(\forall s \in S)(x \in A _{ts}) \Rightarrow (\forall s \in S)(\exists t \in T)(x \in A _{ts})}\)
Ale nie wiem czy w drugą stronę implikacja też może zajść.
A tak w ogóle czy mój zapis jest poprawny?

[Jan Kraszewski]

Twój zapis jest poprawny, wniosek też. Natomiast pytanie, czy implikacja w drugą stronę MOŻE zajść jest źle postawione. Ciebie interesuje, czy ona MUSI zajść, czy nie. Masz zatem dwa wyjścia: albo starać sie pokazać, że musi, albo wskazać kontrprzykład.

JK

[hejka4]

Na razie wiem, że:
\(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} \bigcap_{s \in S} A_{ts}\subset \bigcap_{s \in S} \bigcup_{t \in T} A_{ts}}\)
Żeby była równość to musiałoby być, że:
\(\displaystyle{ \bigcap_{s \in S} \bigcup_{t \in T} A_{ts} \subset\bigcup_{t \in T} \bigcap_{s \in S} A_{ts}}\)

No i teraz nie wiem co muszę zrobić, żeby stwierdzić, czy to zawieranie zachodzi, czy nie. Nie umiem wskazać kontrprzykładu, że nie zachodzi, ani udowodnić że zachodzi. Czy jest jeszcze jakaś możliwość rozpisania, że \(\displaystyle{ x \in A _{ts}}\)?