Matematyka.pl

@kubek1, na początku też tak próbowałem, ale to chyba bez sensu ... na pewno jest na to łatwiejszy sposób niż męczenie się nad mnożeniem pisemnym

Witam wszystkich użytkowników

Podczas rozwiązywania jednego z zadań ( dotyczące właśnie podzielności ) zatrzymałem się nad jedną rzeczą ... a mianowicie, w jaki sposób udowodnić, że \(\displaystyle{ 2003|1+2^{1001}}\) ? Ma ktoś jakiś pomysł?

\(\displaystyle{ 2(a^2+b^2)=2a^2+2b^2=a^2+b^2+a^2+b^2}\)

Teraz trzeba jakoś skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia, więc przekształcamy to trochę:

\(\displaystyle{ a^2+b^2+a^2+b^2=a^2+b^2+a^2+b^2+2ab-2ab=a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2=(a+b)^2+(a-b)^2}\)

\(\displaystyle{ 2n=2(a^2+b^2)=a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2=(a+b)^2+(a-b)^2}\)

Nie kręć ... masz trzy kolejne liczby naturalne, prawda? Wobec tego co najmniej jedna jest podzielna przez 2, a jedna jest podzielna przez 3. Wobec tego ich iloczyn również będzie podzielny przez 6.

Tego się uczy w podstawówce, kiedy nie masz pojęcia co to wielomian

Od kiedy np. \(\displaystyle{ 4\cdot 4^4=16^4?}\)

\(\displaystyle{ W(x)= x^{4}-10x^{2}+9=x^4-9x^2-x^2+9=x^2(x^2-1)-9(x^2-1)=(x^2-1)(x^2-9)=(x+1)(x-1)(x+3)(x-3)}\)

1. Niech h_0 to wysokość, z której spadł kamień, a h_1 to wysokość 5m. V to prędkość jaką kamień miał na wysokości 5 metrów. Wystarczy, że rozwiążesz równanie ( ze względu oczywiście na h_0 ):

mgh_0=\frac{1}{2}mV^2+mgh_1

3. P=\frac{W}{t}

W=mgh

Tylko pozamieniaj jednostki na standardowe.

4 ...

Warto to zapamiętać ...

Jeżeli masz trójkąt o bokach a, b, c ( a to najkrótszy bok, c najdłuższy ), to badasz:
1. Jeżeli \(\displaystyle{ a^2+b^2=c^2}\), to trójkąt jest prostokątny;
2. Jeżeli \(\displaystyle{ a^2+b^2<c^2}\), to trójkąt jest rozwartokątny;
3. Jeżeli \(\displaystyle{ a^2+b^2>c^2}\), to trójkąt jest ostrokątny.

\(\displaystyle{ 3+5>7}\)

Czyli trójkąt jest ostrokątny.

1a) Podziel sobie \frac{20!}{18!}=380
1b) Będzie to cyfra 0, dlatego że silnia z 18 zawiera 10.
1c) Będzie to cyfra 0, bo: 20!=1\cdot2\cdot...\cdot5\cdot...\cdot10\cdot...20 . W iloczynie jest 2 i 5 ( jedno zero ), 10 ( drugie zero ) oraz 20 ( trzecie zero ).
1d) 119=7\cdot17 . Jak rozłożysz liczbę ...

Ja spróbuję to udowodnić z innej strony.

Reszty w dzieleniu przez 3 trzech kolejnych liczb naturalnych, będą równe 0, 1 oraz 2, czyli:

a\equiv0(mod\ 3)\\b\equiv1(mod\ 3)\\c\equiv2(mod\ 3)

Kiedy podniesiemy do sześcianu każdą z nich, otrzymamy następujące reszty:

a^3\equiv0(mod\ 3)\\b^3\equiv1 ...

To podstawienie za 169a to niezły trick jest Bardzo mi to pomogło. Dzięki!

Otóż, w jednym takim zadanku muszę wykazać ( właśnie za pomocą indukcji matematycznej ), że dla naturalnych n \(\displaystyle{ 169|3^{3n+3}-26n-27}\). Dla n=1 zdanie jest prawdziwe ( bo \(\displaystyle{ 3^{3+3}-26-27=676\equiv 0(mod\ 169)}\) ). Jak to dalej pociągnąć?

Tomalla

1998\equiv2(mod\ 4)

A więc, kwadrat liczby naturalnej może mieć resztę 1 lub 0 w modulo 4. Rozważmy 4 przypadki, kiedy reszta liczby naturalnej jest równa albo 0, 1, 2 lub 3 w dzieleniu przez 4:

a\equiv0(mod\ 4)\qquad\Rightarrow\qquad a^2\equiv0(mod\ 4)\\ a\equiv1(mod\ 4)\qquad\Rightarrow\qquad ...