Uzasadnić twierdzenie

[martka09]

Uzasadnij,że suma sześcianów kolejnych trzech liczb naturalnych jest podzielna przez 3.

[Chromosom]

Zapisz w postaci n, n+1, n+2, podnieś do sześcianu (wzory skróconego mnożenia) i sprawdź podzielność przez 3

[LastSeeds]

\(\displaystyle{ (n-1)^{3}+n^{3}+(n+1)^{3}=n^{3}-3n^{2}+3n-1+n^{3}+n^{3}+3n^{2}+3n+1=3n^{3}+6n=3(n^{3}+2n) \Rightarrow postaci\ 3k,k \in C \Rightarrow podzielna\ przez\ 3}\)

[tomalla]

Ja spróbuję to udowodnić z innej strony.

Reszty w dzieleniu przez 3 trzech kolejnych liczb naturalnych, będą równe 0, 1 oraz 2, czyli:

\(\displaystyle{ a\equiv0(mod\ 3)\\b\equiv1(mod\ 3)\\c\equiv2(mod\ 3)}\)

Kiedy podniesiemy do sześcianu każdą z nich, otrzymamy następujące reszty:

\(\displaystyle{ a^3\equiv0(mod\ 3)\\b^3\equiv1(mod\ 3)\\c^3\equiv8\equiv2(mod\ 3)}\)

Dodajmy wszystkie trzy kongruencje do siebie. Otrzymamy wtedy:

\(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3\equiv 3\equiv 0(mod\ 3)}\)

Oznacza to, że suma ta, jest podzielna przez 3, c.k.d.