Otóż, w jednym takim zadanku muszę wykazać ( właśnie za pomocą indukcji matematycznej ), że dla naturalnych n \(\displaystyle{ 169|3^{3n+3}-26n-27}\). Dla n=1 zdanie jest prawdziwe ( bo \(\displaystyle{ 3^{3+3}-26-27=676\equiv 0(mod\ 169)}\) ). Jak to dalej pociągnąć?
Tomalla
Dowieść podzielność
-
Psycho
- Użytkownik
- Posty: 366
- Rejestracja: 23 gru 2008, o 09:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Przemyśl/Kraków
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 68 razy
Dowieść podzielność
\(\displaystyle{ 169 | 3^{3n+3} - 26n -27 \Rightarrow 169 | 3^{3(n+1)+3} - 26(n+1) - 27}\)
niech
\(\displaystyle{ 3^{3n+3} - 26n -27=169a \\ 3^{3n +3}=169a + 26n + 27}\)
wtedy
\(\displaystyle{ 3^{3(n+1)+3} - 26(n+1) - 27= 3^{3} \cdot (169a + 26n + 27) - 26(n+1) - 27 =
27 \cdot 169a + 27 \cdot 26n + 27 \cdot 27 - 26n - 26 - 27 = 27 \cdot 169a +26 \cdot 26n + 26 \cdot 26 = 169(27a + 4n + 4)}\)
niech
\(\displaystyle{ 3^{3n+3} - 26n -27=169a \\ 3^{3n +3}=169a + 26n + 27}\)
wtedy
\(\displaystyle{ 3^{3(n+1)+3} - 26(n+1) - 27= 3^{3} \cdot (169a + 26n + 27) - 26(n+1) - 27 =
27 \cdot 169a + 27 \cdot 26n + 27 \cdot 27 - 26n - 26 - 27 = 27 \cdot 169a +26 \cdot 26n + 26 \cdot 26 = 169(27a + 4n + 4)}\)