Matematyka.pl

To prawda, ale te mają 60 stopni:
5, 7, 8
7, 13, 15
9, 21, 24
11, 31, 35
13, 43, 48
15, 57, 63
16, 19, 21
17, 73, 80
19, 91, 99
20, 28, 32
24, 39, 45
28, 52, 60
32, 67, 77
33, 37, 40
36, 84, 96
39, 49, 55
45, 63, 72
51, 79, 91
56, 61, 65
64, 76, 84
85, 91, 96

Funkcja "odległość od najbliższej liczby całkowitej" jest okresowa, ale nie różniczkowalna i zbiór, o który pytasz, jest dla niej pusty, a więc ograniczony.

Nie znam się na analizie funkcjonalnej, ale dla dowodu surjektywności musisz raczej znaleźć x \in X takie, że dla ustalonego wcześniej y_0 zachodzi x - Tx = y_0 .

Co do drugiej części, załóżmy, że funkcja \Phi ma punkt stały x_0 . Wtedy y_0 + Tx_0 = x_0 , czyli dosłownie x_0 - Tx_0 = y_0 , a ...

Usiądę później do Twojego kodu, a teraz odpowiem tylko na pytanie o implementację.

def miller_rabin_prime?(n, a)
d = n - 1
s = 0
while d % 2 == 0
d /= 2
s += 1
end
x = a.pow(d, n)
y = 0
s.times do
y = x.pow(2, n)
return false if y == 1 and x != 1 and x != n-1
x = y
end
y == 1
end ...

Popatrzyłem na Twój kod. Są trzy związane ze sobą problemy:

- czy dana liczba jest pierwsza? Wygląda na to, że Twoje rozwiązanie to drobne usprawnienie klasycznego algorytmu, który dla danej liczby n sprawdza, czy jest podzielna przez pewną liczbę od 2 do n . (Najpierw zauważa się, że wystarcza ...

https://pl.wikipedia.org/wiki/Test_Millera-Rabina jest (w ogólności) probabilistycznym testem pierwszości, ale dla dostatecznie małych liczb wystarczy sprawdzić a = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 oraz 41 (i wtedy test staje się deterministyczny). Twoja liczba 8 272 402 618 863 367 641 ...

Prostsze rozumowanie nie wymagające sumowania współczynników dwumianowych: za każdą liczbą \(\displaystyle{ 1, 2, \ldots, n-1}\) stawiasz pionową kreskę albo nie (kreski oddzielają od siebie osobne podzbiory). Łatwo widać, że wszystkich możliwych podziałów jest więc \(\displaystyle{ 2^{n-1}}\).

Brombal pisze: 28 sty 2025, o 11:18 liczba \(\displaystyle{ 6843}\) nie jest pierwsza. Jak widać dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\).

Masz totalnie rację, ale \(\displaystyle{ 16\, 843}\) jest (i o tę liczbę mi chodziło - literówka się wkradła).

To akurat jest proste. Niech H_n = \sum_{k-1}^n \frac 1 n oznacza n -tą liczbę harmoniczną.

Jeśli p \neq 2 , to p \mid H_{p-1} (wynik Babbage'a).

Jeśli p > 3 , to p^2 \mid H_{p-1} (wynik Wolstenholme'a).

Dalej jest już gorzej, bo znane są tylko dwie liczby p takie, że p^3 \mid H_{p-1} : 6 843 i 2 ...

Dobrze.

Dobrze.

Dobrze. To zadanie już było:

tutaj
tutaj
tutaj
tutaj
i tutaj.

Poprawne wyniki.

Dobrze.

a, b dobrze.

c źle; ma się pojawić ciąg przynajmniej pięciu orłów (gdziekolwiek). Na przykład R, R, O, O, O, O, O, O, O, R. Takich sytuacji jest 112.

d też źle (prawdopodobnie dlatego, że c źle) - zdarzeń sprzyjających jest 222. Podobnie e źle (251) oraz d (które miało być f) również źle, powinno ...