Matematyka.pl

Tak rzeczywiście 35.

Mam tak dla 5 stojącej na początku - 15 takich ustawień
Dla 5 na 2 miejscu - 10 takich ustawień
Dla 5 na 3 miejscu - 6 takich ustawień
Dla 5 na 4 miejscu - 3 ustawienia
Dla 5 na 5 miejscu - 1 ustawienie.
Teraz uwzględniam pozostałe 4 cyfry i otrzymuję:
45 \cdot 4! .
Nie wiem czy dobrze liczę bo w ...

Ile jest liczb siedmiocyfrowych o różnych cyfrach, zapisanych za pomocą cyfr \(\displaystyle{ 1,2,3,4,5,6,7}\), w których cyfra 5 jest przed 6 i cyfra 6 jest przed 7?

Na ile sposobów można ustawić cyfry \left\{ 0,1,2,3,4,5,6,8\right\} w szereg tak, aby:
a) cyfry parzyste stały obok siebie i nieparzyste obok siebie,
b) cyfry parzyste stały obok siebie
c) żadne dwie cyfry nieparzyste nie stały obok siebie
d) 4 była bezpośrednio przed 5.

Ad a) Rozumiem to tak, że ...

x+3x^{2}+9x^{3}+27x^{4}+...= \frac{x}{1-3x} .
Lewa strona równania jest sumą szeregu geometrycznego, w którym:
a_{1}=x, q=3x .
Wyznaczam dziedzinę równania:
\begin{cases} 1-3x \neq 0\\\left| q\right|<1 \end{cases}\\
\begin{cases} x \neq \frac{1}{3} \\ -1<3x<1 \end{cases}
Ostatecznie dostaję:
x ...

Czy ciąg:
\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{2(-1)^{n} \cdot n}{2n+1} }\) jest ciągiem ograniczonym?
\(\displaystyle{ b_{n}= \frac{(-1)^{2n} \cdot n}{2n-1} }\) jest ciągiem malejącym? Ale nie jest ciągiem naprzemiennym z uwagi na \(\displaystyle{ (-1)^{2n}}\) ?

Dla jakich k, ciąg \(\displaystyle{ a_{n}= \frac{\left( k^{2}+k\right)n+7 }{\left( 2+k\right)n+5 } }\) ma granicę:
a) właściwą,
b) niewłaściwą?
Odp a) dla \(\displaystyle{ k \neq -2}\),
b) dla \(\displaystyle{ k=-2}\).
Czy dobrze myślę?

Dana nierówność jest równoważna, w swojej dziedzinie, nierówności:
\[-(x+1)(x+2)(x+3)\left[3(x+2)^3-3(x+2)^2-3(x+2)+1\right]<0.\]
Pozostaje wskazać, np. z wzorów Cardano, pierwiastki (wszystkie trzy niewymierne) wielomianu
\[w(t)=3t^3-3t^2-3t+1,\ \text{gdzie }t=x+2,\]
naszkicować wykres wielomianu ...

W zadaniu nie ma żadnych założeń. A gdyby było \(\displaystyle{ x>-1}\), czy wtedy mogę skorzystać z zależności między średnimi?

\(\displaystyle{ \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}+ \frac{1}{x+3} <3 }\)
Czy jest jakiś sposób na rozwiązanie?

x^{2}-x+2>0, x \in \RR
Po obustronnym przemnożeniu dostaje:
x^{2}+ax \ge -(x^{2}-x+2),\\
2x^{2}+x(a-1)+2 \ge 0.

Ostatnia nierówność będzie spełniona dla wszystkich liczb rzeczywistych, gdy: \Delta \le 0 .\\
\Delta=(a-1)^{2}-16,\\
(a-5)(a+3) \le 0.\\
a \in \left\langle -3;5\right\rangle

Czy ...

Dla jakiej wartości parametru \(\displaystyle{ a}\), zbiorem rozwiązań nierówności:
\(\displaystyle{ \frac{x^2+ax}{x^2-x+2} \ge -1 }\),
jest zbiór liczb rzeczywistych?

nieskończenie wiele?

Czy sposób rozwiązania jest poprawny?

Pierwsze założenie to m \neq 0 .
Przekształcam dalej
\frac{m-3}{3}- \frac{x+3}{m}=0, \\
\frac{m^{2}-xm-3x-9}{3m}=0 \Leftrightarrow m^{2}-xm-3x-9=0.\\
-xm-3x=9-m^{2},\\
x\left( -m-3\right) =9-m^{2} /:\left(-m-3 \right), x \neq -3, \\
x=m-3.

Dla m \in \RR-\left\{ -3,0\right\} równanie ma dokładnie ...