Matematyka.pl

Racja, dzięki

Jaki jest kres dolny zbioru

A= \left\{ \frac{ n^{3} + m^{3} }{m + n^{2}} : m,n\in \mathbb{N} \right\} ,

kres górny zbioru

B= \left\{ \frac{ mn }{m^{3} + n^{3} + 1} : m,n\in \mathbb{N} \right\} ?

Na pierwszy rzut oka trzeba tu skorzystać ze wzoru na sumę sześcianów, ale w ten sposób nie ...

Proszę o pomoc. Czy podany ciąg jest zbieżny bezwzględnie, warunkowo czy rozbieżny?

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \left( -n\right) ^{n} 3^{ -n^{2} }}\)

Dzięki bardzo. A co z podobnym przykładem \(\displaystyle{ B= \left\{ \frac{3m^{2} + 2n^{2} }{2mn} : m,n\in \mathbb{N} \right\}}\) ?
Wtedy mamy już \(\displaystyle{ \frac{3m}{2n} + \frac{n}{m}}\) i sytuacja trochę się zmienia. \(\displaystyle{ \inf A}\) będzie wtedy dla \(\displaystyle{ n=1, m=1}\) ? Jak do tego podejść?

Jakie są kresy zbioru?
\(\displaystyle{ A= \left\{ \frac{3m+ 2n^{2} }{2mn} : m,n\in \mathbb{N} \right\}}\)
Rozkładam to sobie na \(\displaystyle{ \frac{3}{2n} + \frac{n}{m}}\) i widzę, że \(\displaystyle{ \sup A= \infty \left( n= \infty , m=1\right)}\)
Jak natomiast wyznaczyć kres dolny?

\(\displaystyle{ 2^{n+1} = 2^{n} \cdot 2 > 3n \cdot 2 = 6n}\)
Teraz mamy:
\(\displaystyle{ 6n>3(n+1)=3n+3}\)
\(\displaystyle{ 3n>3}\)
\(\displaystyle{ n>1}\)
czyli dla \(\displaystyle{ n \ge 4}\) spełnione.

Dzięki bardzo W c ten kwadrat tak naprawdę nic nie zmienia i szereg zbieżny warunkowo?

Ile asymptot ma funkcja \(\displaystyle{ \left| \frac{x+i}{x-i} \right|}\) ?

Tak, wiem jak rozwiązać prostsze przykłady tego typu, ale z tymi trzema mam problem. Jedynie w przykładzie C widzę, że szereg nie jest zbieżny bezwzględnie, bo po nałożeniu wart. bezwględnej otrzymujemy \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ 1 }{n} . Nie mam niestety pojęcia jak określić czy jest on zbieżny ...

Czy podany szereg jest zbieżny bezwzględnie, zbieżny warunkowo czy rozbieżny?

a) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \left( 1- \frac{i}{ 2^{n} } \right) ^{n}}\)

b) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \left( -1\right) ^{n} \left( \frac{1}{i}- \frac{1}{i+1} \right) ^{n}}\)

c) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ i^{ n^{2} } }{n}}\)

Czy podana liczba dzieli się przez 3?

\(\displaystyle{ 125^{6}-4^{9}}\)

Dzięki bardzo W \(\displaystyle{ - \infty}\) będziemy mieć jednak chyba \(\displaystyle{ f\left( x\right) =\left| x\right|+0}\), bo \(\displaystyle{ 2^{x}}\) dąży wtedy do \(\displaystyle{ 0}\) a \(\displaystyle{ \log_{2} \left( 1\right) =0}\)
Wtedy mamy w \(\displaystyle{ - \infty}\) asymptotę ukośną \(\displaystyle{ y=-x}\)

Bardzo proszę o pomoc przy znalezieniu asymptot funkcji f(x)= \sqrt{x^{2}+1} + \log _{2}\left( 2^{x}+1\right)

Dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, więc pionowe nie istnieją, z policzeniem ukośnych mam problem.

Jak policzyć:
a= \lim_{x \to \pm \infty } \frac{f\left( x\right) }{x} \\
b= \lim ...

Dokładnie, zadanie na pierwszy rzut oka typowe, a tu wszystkie standardowe szacowania zawodzą.
Różnica między liczbami jest bardzo mała, dlatego może dopiero dzięki skorzystaniu ze wskazówki można rozwiązać zadanie?
Ja niestety nie mam pomysłu jak ją interpretować, pierwsze co przychodzi do głowy to ...

Która liczba jest większa?
\(\displaystyle{ 3^{34}}\) czy \(\displaystyle{ 2^{33} \cdot 5^{9}}\)?
Wskazówka: e