Wykazywanie nierówności.

[dawid.barracuda]

Witam. Mam udowodnić metodą indukcji matematycznej, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\), spełniającej podany warunek, zachodzi nierówność...
I tu mam taki pierwszy z brzegu przykład: \(\displaystyle{ 2^n > 3n}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 4}\)
Nie za bardzo wiem jak wykazywać nierówności, a że uczę się tego sam to sięgam na forum po radę Proszę o wskazówki i pozdrawiam.

[henryk pawlowski]

Najpierw sprawdzasz prawdziwość tej nierówności dla n=4,a następnie dla każdej liczby naturalnej n nie mniejszej od 4,przy założeniu ,że podana nierówność zachodzi dla n, pokazujesz jej prawdziwość dla n+1.

[dawid.barracuda]

Tyle wiem, problem w tym, że nie za bardzo wiem jak wykazać to dla \(\displaystyle{ n+1}\).

[elpamka]

\(\displaystyle{ 2^{n+1} = 2^{n} \cdot 2 > 3n \cdot 2 = 6n}\)
Teraz mamy:
\(\displaystyle{ 6n>3(n+1)=3n+3}\)
\(\displaystyle{ 3n>3}\)
\(\displaystyle{ n>1}\)
czyli dla \(\displaystyle{ n \ge 4}\) spełnione.

[dawid.barracuda]

No to jest tak:
\(\displaystyle{ 2 \cdot 2^k > 6k \\ 2 \cdot 2^k > 3(k+1)}\)
Dlaczego mogę podstawić \(\displaystyle{ 6k}\) za \(\displaystyle{ 3(k+1)}\)? Czy to wynika z tego, że poruszam się tylko po liczbach naturalnych dodatnich? I czy jeżeli wyjdzie mi co innego po takim podstawieniu to znaczy, że wzór jest fałszywy?

[Ponewor]

nic nie podstawiasz, tylko szacujesz
\(\displaystyle{ 2 \cdot 2^{k}>6k>3k+3}\) bo \(\displaystyle{ k \ge 4}\).

[dawid.barracuda]

No dobra, to już rozumiem. Dziękuję za pomoc i pozdrawiam.