Która liczba jest większa?

elpamka · Post autor: **elpamka** » 24 lip 2013, o 12:27

Która liczba jest większa?
\(\displaystyle{ 3^{34}}\) czy \(\displaystyle{ 2^{33} \cdot 5^{9}}\)?
Wskazówka: e

Post autor: **bakala12** » 24 lip 2013, o 13:15

Wykorzystaj dwie nierówności:
\(\displaystyle{ 243=3 ^{5}<2^{8}=256}\)
\(\displaystyle{ 9<10}\)
Podnieś je do odpowiednich potęg i ładnie wyjdzie.

robertm19 · Post autor: **robertm19** » 24 lip 2013, o 13:33

bakala12,
twoim sposobem wychodzi, że \(\displaystyle{ 3^{33}<2^{33}\cdot 5^9}\), a to nie jest to co trzeba pokazać.

Post autor: **bakala12** » 24 lip 2013, o 13:37

robertm19, no tak rzeczywiście, zaraz spróbuje poszukać czegoś lepszego.

elpamka · Post autor: **elpamka** » 24 lip 2013, o 14:52

Dokładnie, zadanie na pierwszy rzut oka typowe, a tu wszystkie standardowe szacowania zawodzą.
Różnica między liczbami jest bardzo mała, dlatego może dopiero dzięki skorzystaniu ze wskazówki można rozwiązać zadanie?
Ja niestety nie mam pomysłu jak ją interpretować, pierwsze co przychodzi do głowy to funkcja exp, czyli porównywanie \(\displaystyle{ e^{ln(3^{34})}}\) i \(\displaystyle{ e^{ln(2^{33} \cdot 5^{9}) }}\), ale w ten sposób również mimo wielu przekształceń nie udało mi się wskazać liczby większej.

robertm19 · Post autor: **robertm19** » 24 lip 2013, o 15:05

Można zlogarytmować stronami i policzyć na kalkulatorze \(\displaystyle{ \ln 5}\), \(\displaystyle{ \ln2}\) i \(\displaystyle{ \ln3}\). Ale to żaden dowód