Asymptoty funkcji

[elpamka]

Bardzo proszę o pomoc przy znalezieniu asymptot funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{x^{2}+1} + \log _{2}\left( 2^{x}+1\right)}\)

Dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, więc pionowe nie istnieją, z policzeniem ukośnych mam problem.

Jak policzyć:
\(\displaystyle{ a= \lim_{x \to \pm \infty } \frac{f\left( x\right) }{x} \\
b= \lim_{x \to \pm \infty }\left( f\left( x\right)-ax \right)}\)
?

[szw1710]

W nieskończoności możemy sobie asymptotycznie pominąć jedynki, toteż \(\displaystyle{ f(x)\approx |x|+x}\). Dodanie jedynek w żaden sposób nie wpływa na wartość funkcji dla dużych \(\displaystyle{ x}\). Oznacza to, że w \(\displaystyle{ +\infty}\) mamy asymptotę ukośną \(\displaystyle{ y=2x}\), a w \(\displaystyle{ -\infty}\) mamy asymptotę poziomą \(\displaystyle{ y=0}\).

Sformalizowanie obliczenia granic pozostawiam Tobie.

[elpamka]

Dzięki bardzo W \(\displaystyle{ - \infty}\) będziemy mieć jednak chyba \(\displaystyle{ f\left( x\right) =\left| x\right|+0}\), bo \(\displaystyle{ 2^{x}}\) dąży wtedy do \(\displaystyle{ 0}\) a \(\displaystyle{ \log_{2} \left( 1\right) =0}\)
Wtedy mamy w \(\displaystyle{ - \infty}\) asymptotę ukośną \(\displaystyle{ y=-x}\)

[robertm19]

Dzięki bardzo W \(\displaystyle{ - \infty}\) będziemy mieć jednak chyba \(\displaystyle{ f\left( x\right) =\left| x\right|+0}\), bo \(\displaystyle{ 2^{x}}\) dąży wtedy do \(\displaystyle{ 0}\) a \(\displaystyle{ \log_{2} \left( 1\right) =0}\)
Wtedy mamy w \(\displaystyle{ - \infty}\) asymptotę ukośną \(\displaystyle{ y=-x}\)

Tak.

[szw1710]

elpamka, tak, masz rację. Cieszę się, że złapałaś ideę, którą nakreśliłem