jak szybko rośnie Primorial

[c-rasz]

Primorial to funkcja na zbiorze liczb pierwszych, podobnie na nim operująca, jak funkcja silnia na zbiorze liczb naturalnych

Primorial od \(\displaystyle{ N}\) oznacza się \(\displaystyle{ N\#.}\)

\(\displaystyle{ 12\# = 11\#}\) bo \(\displaystyle{ 12}\) nie jest liczbą pierwszą

\(\displaystyle{ 13\#=2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 = 30030 }\)

Excel, oraz większość kalkulatorów, \(\displaystyle{ "widzi"}\) dokładnie — tylko 14 cyfr, większe liczby zapisuje w notacji \(\displaystyle{ naukowej}\)

Największa \(\displaystyle{ p\#}\) jaką więc \(\displaystyle{ "widzi"}\) bez gubienia ostatnich cyfr, bez zaokrąglania
to trzynasta liczba pierwsza równa \(\displaystyle{ 41}\). Jej primorial \(\displaystyle{ 41\# =304 250 263 527 210}\)
Czternasta liczba pierwsza, \(\displaystyle{ 43\# =1.30827613316700 E+016 }\)
Przy \(\displaystyle{ 131-}\)szej liczbie pierwszej, równej \(\displaystyle{ 739}\) obliczona, zaokrąglona wartość primorial
\(\displaystyle{ 739\# \approx3.90817700074735E+306}\) co znaczy że ma ~ 306 cyfr
potem kalkulator się wykrzacza...

Dla porównania sto trzydziesty pierwszy czynnik silni daje wynik \(\displaystyle{ 8,47158069087882 E221}\) a więc jest o 85 rzędów wielkości mniejszy...

[Brombal]

O ile pamiętam \(\displaystyle{ p_n\#}\) dla \(\displaystyle{ p_n \approx 128000000}\) daje liczbę ok. \(\displaystyle{ 3 \cdot 10^{100000000}}\)

[c-rasz]

(...)

W tym LaTeX-sie to nieczytelne się staje, to używać warto przecinków: \(\displaystyle{ 3 \cdot 10^{100,000,000}}\)
— albo zamiast TeX-a użyć słowa mówionego: \(\displaystyle{ dziesięć.do.100.milionów....}\)

Gdzieś już wspominałem, ale powtórzę:
dla przyciągnięcia uwagi warto wspomnieć, że ilość wszystkich atomów w obserwowalnym wszechświecie to raptem \(\displaystyle{ 10^9}\)\(\displaystyle{ ^1}\) — czyli by ponumerować je wszystkie, to każdemu przypiąć by trzeba tabliczkę znamionową a na niej \(\displaystyle{ 91}\) cyfr...
Ha, mały pikuś wobec tych, które rozkminiają poszukiwacze p-liczb naprawdę ciekawych dla nich.

BTW.
Jak dla mnie to same poszukiwania zbyt ekscytujące nie są (a uczestnicy się nimi \(\displaystyle{ masturbują}\)), bo po znalezieniu jakiegoś mastodonta, o setkach tysięcy cyfr — umieszcza się go w archiwum, i tam porasta kurzem. Tak naprawdę ciekawe jest znajdywanie \(\displaystyle{ maszynek}\) na ich generowanie, algorytmów.

A jeszcze bardziej \(\displaystyle{ anty-maszynek,}\) czyli kolejnych \(\displaystyle{ prime-test'}\)ów...

[Brombal]

Wbrew pozorom filmik ma dużo cyferek do czytania. Laptop rok temu powiększyłem do 16 + SSD. Służy do internetu. Skrzynię mam. Złożyłem dla syna. Parametry ma zabójcze jak na kompa. I nie są wykorzystywane oprócz karty graficznej.
Jak chcesz poczytać o generatorze MMSieve to jest w kawiarni szkockiej. Ale filmik jest sympatyczny w efekcie wow.

[c-rasz]

Parametry ma zabójcze jak na kompa.

Czyli...?

I nie są wykorzystywane oprócz karty graficznej.

To do BOINC-a dołącz! boinc.berkeley.edu/ BOINC zresztą i grafę wykorzystuje.

Zachwalając go (założyłem topic) taktycznie nie wspomniałem o tym, że jest prądożerny:
— nowoczesne kompy są bardzo eco, czyli mają komponenty wielce energooszczędne. W efekcie w iddle biorą nieco ponad 100W
Zaś gdy BOINC obciąży wszystkie rdzenie na 95% — to PC-t robić może zimą za kaloryfer. Latem nie jest to jednak mile widziane, hłe, hłe...

Tym niemniej na BOINC-forum ktoś proponował, aby zaprzestać produkcji grzejników elektrycznych na spiralach oporowych, lecz by zmusić lud do kupowania takich, których elementem grzejnym byłyby tysiącrdzeniowe procesory, w sporej liczbie, no, kilkanaście co najmniej...

To rzecz nieunikniona, że rozwój cywilizacji wzmaga jej zapotrzebowanie na... MOC! (obliczeniową, of course)

Nie cierpię njUnii, ale jakiś program dofinansowania takiego pomysłu przyjął bym oklaskami. Tzn. aby można było kupić niedrogo kompa na full-wypasie. A raczej wydzierżawić. Spłacało by się go w rachunkach za... prąd! — zużywany przez BOINC preinstalowany...

jest w kawiarni szkockiej Hę? A gdzie-że ona? No bo raczej nie we Lwowie...

Niech MOC będzie z Tobą...

Dodano po 42 minutach 18 sekundach:
A o Księdze Szkockiej pisałem w topic'u [Liczby trójkątne], lecz mój komentarz przeniesiono do [kosza]

[Brombal]

kawiarnia-szkocka-f197/?sid=1b0c0963005 ... 9557199981

[c-rasz]

(...) to jest w kawiarni szkockiej (...)

Napisałem Ci PW — zerknij w \(\displaystyle{ wolnej}\)...

Napisałem i jeszcze trochę [kosz]
Po czym Jan Kraszewski, to posłał do [kosza] łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Jak chcesz się z kimś skontaktować, to piszesz PW.

No przecież w treści skoszonego wpisu stało:
Jak to przeczytasz, to zajrzyj też do [Prywatne wiadomości]... bo rzecz w tym, że kol. Brombal bynajmniej do PW nie zagląda!

[SekretnyJulek]

Można wykorzystać tw. o liczbach pierwszych, aby oszacować \[\sum_{p\ pierwsze}^{N}\ln(p) \approx N\]
Zachęcam do próby zobaczenia czemu.
Stąd:
\[N\# \approx e^N\]
Przy czym należy zwrócić uwagę, że przy przyjętej definicji przybliżenie jest zasadniczo dobre jedynie dla N pierwszych.

[c-rasz]

\[N\# \approx e^N\]

Nnnno, faktycznie, tylko i wyłącznie wtedy, gdy N jest p-liczbą
bo o ile jakaś liczba \(\displaystyle{ N}\) nie jest p-liczbą, a od mniejszej od niej, najbliższej p-liczby równej \(\displaystyle{ p_m}\) jest odległą o \(\displaystyle{ k}\), to mamy taką oto sytuację, że o ile
\(\displaystyle{ m}\)# \(\displaystyle{ = p_m}\)#
to ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣\(\displaystyle{ e^M}\)>> \(\displaystyle{ e^p}\) gdzie \(\displaystyle{ p=p_m}\) ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣(tak musiałem, bo piętrowe indeksy się mi zbyt kaszanią...)

Jeśli \(\displaystyle{ N-p_m=k}\) ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣to ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ \(\displaystyle{ e^N=e^p \cdot e^k}\) ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣gdzie \(\displaystyle{ p=p_m}\)


W topic'u "Zbieżność szeregu odwrotności liczb pierwszych" teoria-liczb-f26/zbieznosc-szeregu-odwr ... l#p5666054 (którym zacząłem swą tutejszą aktywność. A dokładniej: po latach \(\displaystyle{ wznowiłem}\)) pisałem rozentuzjazmowany (co bardzo wkurzyło resztę re-publiki), o tym, jak policzyłem w excelowym arkuszu, że owa suma odwrotności jest zbieżna (cóż, błąd, przepraszam!) do \(\displaystyle{ liczby }\) \(\displaystyle{ Eulera}\)
Błąd polegał na tym, że wzięta próbka p-liczb wynosiła "zaledwie" \(\displaystyle{ 10}\) \(\displaystyle{ 240}\) p-liczb

Dało to asumpt do żartów, i naigrywań takich np.

Janusz Tracz » 24 maja 2024, o 18:41 ⁣ ⁣ ⁣ teoria-liczb-f26/zbieznosc-szeregu-odwr ... l#p5666094 ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣

Pytanie jaka metodologia za tym stała. To tak jakby przejechać się autobusem numer 40 pomnożyć przez tysiąc bo czemu by nie i stwierdzić, że ziemia ma obwód 40 000 km. Faktycznie mały błąd. Bo obwód to 40 075 km. To nie jest koincydencja. To jest szczęśliwy traf.

0. Ha! Autobusów o tak niskich numerach, niestety brak! Tu mi się przypomina moja własna maxyma: Mogę dsykutować z kimś, kto mówi, że \(\displaystyle{ 2+2=5}\) — bo pozostaje niejako na twardym jeszcze gruncie. Ale są tacy, co powiedzą, że wynikiem tego dodawania jest... tramwaj! A tylko całkiem przypadkowo chodzi im o linię numer \(\displaystyle{ 4...}\) "Do teściowej czwórką jeździmy z żoną, to wiem!"

1. Rzecz w tym, iż otrzymałem dokładnie taką wartość, której się (poniżej słówko o tym) spodziewałem: wszak związki p-liczb z liczbą \(\displaystyle{ Eulera}\) są znane, jest ich kilka, a choć udowodniono ich zapostulowaną wcześnie, na podstawie intuicji — prawdziwość, to nie zawsze jest znane głębokie logiczne / matematyczne \(\displaystyle{ uzasadnienie}\) wybranego związku. Wszak występowanie p-liczb jest "lokalnie nieprzewidywalne"

2. Przedziału "do 10 tysięcy" bynajmniej nie dobierałem (manipulacyjnie), a po prostu jak raz na taką ich ilość trafiłem, i na tyle wystarczyło mi pracowitości: arkusz i tak był nieporęcznie duży, miał 40 kart, a każda wypełniona na full! (w poziomie. Bo w pionie było raptem kilkanaście wierszy).

3. Wielkość, a przede wszystkim to, że musiałem korzystać z wielu kart, dodawało wiele problemów, i naprawdę się napracowałem układając go, a potem szukając błędów, i klnąc przy tym tak, że dziwię się sąsiadom, że moje wyzwiska na 120 decybeli — nie doprowadziły do jakiejś scysji...

4. Dlatego owo porównanie uważam za nieprzystające, i to zdecydowanie! Choć przykład dawał błąd rozrzutu mniejszy niż mój, bo 1,875 promila...

5. Dla potrzeb wyjaśnień przyznam, że od sum odwrotności p-liczb... \(\displaystyle{ STOP!}\) Pora tę frazę, często się tu pojawiającą, jakoś skrócić dla ułatwienia. Proponuję ujęty w klamry LaTeX-a akronim \(\displaystyle{ SOLP,}\) i narzuca się też nazwa kolokwialna: \(\displaystyle{ sopel}\) — małymi pisana. \(\displaystyle{ Deal?}\) Otóż od tego \(\displaystyle{ sopla}\) oczekiwałem, że jego wielkość (granica przy dążeniu do \(\displaystyle{ \infty}\)) będzie służyć do powiązania dwóch liczb: \(\displaystyle{ \pi}\) oraz \(\displaystyle{ e}\). Albo przez mnożenie, albo przez dodawanie.

6. Dopiero gdy stało się jasne, że nic z tego, to liczba Eulera wydała się całkiem niezłym zastępstwem. Bo własność z pkt. 5 byłaby rzeczą bardziej rewelacyjną...

7. Pewnym smutkiem napawa mnie swoista przewrotność losu, bo \(\displaystyle{ e}\) zostaje przez \(\displaystyle{ sopel}\) przeskoczone już raptem kilkaset pozycji ponad mój zakres arkusza. Tedy rozbudowując go \(\displaystyle{ dwukrotnie }\) — strzeliłem z armaty do wróbla...

Dodano po 33 minutach 7 sekundach:
Re: z armaty,, do wróbla

⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ \(\displaystyle{ e^N = e^p \cdot e^k}\)

Gdy już to skonstatowałem (w biegu niejako) to niniejszym spostrzegam, że to równanko służyć może do wskazywania \(\displaystyle{ spodziewanej}\) odległości (czy też innymi słowy \(\displaystyle{ lokalnej . frekwencji}\)) pomiędzy p-liczbami na danej \(\displaystyle{ wysokości}\), czyli gdy mamy dwie pobliskie p-\(\displaystyle{ liczby}\), to równanie owo może nam wskazać jaka tam jest ich \(\displaystyle{ spodziewana,}\) średnia \(\displaystyle{ gęstość,}\) jakie są między nimi odstępy.

Owo spostrzeżeNIEjest bynajmniej gotową na to receptą, lecz pierwszym etapem owej recepty szukania, w czym liczę na a Little Help From My Friends https://www.tekstowo.pl/piosenka,joe_cocker,with_a_little_help_from_my_friends.html

Dodano po 5 minutach 50 sekundach:
Re: jak szybko rośnie Primorial
Wyjaśniam, że gdy piszę, iż mamy dwie pobliskie p-liczby, to chodzi o sytuację, gdy nie wiemy, czy między nimi nie ma innej p-liczby, albo nawet \(\displaystyle{ fęfdziesięciu...}\)

[c-rasz]

Janusz Tracz » 24 maja 2024, o 18:41 ⁣ ⁣ ⁣ teoria-liczb-f26/zbieznosc-szeregu-odwr ... l#p5666094 ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣

(...) Faktycznie mały błąd. (...) To nie jest koincydencja. To jest \(\displaystyle{ szczęśliwy}\) traf.

Ha! Zdecydowa\(\displaystyle{ NIE}\)szczęśliwy. Czyli: eeeeh, raczej pech...
Gdybym zamiast \(\displaystyle{ 10 }\) \(\displaystyle{ 240}\) p-liczb wziął \(\displaystyle{ 11k }\) — to bym \(\displaystyle{ nie }\) pobłądził.
⁣

⁣

Na obrazku (\(\displaystyle{ kliknij!}\)) widać, jak rozpędzona \(\displaystyle{ SOLP }\) Liczbę Eulera mija obojętnie, przy wartości \(\displaystyle{ n}\) równej \(\displaystyle{ 10}\) \(\displaystyle{ 997}\) oznaczającej \(\displaystyle{ p_n =}\) \(\displaystyle{ 116}\) \(\displaystyle{ 423...}\)

[c-rasz]

\[\sum_{p\ pierwsze}^{N}\ln(p) \approx N\]

— nie "\(\displaystyle{ dekoduję}\)" tego wzoru, czy sigma oznacza
sumowanie logarytmów z \(\displaystyle{ p}\)? No, raczej nie... Zdaje się, że pomiędzy sigmą, a logarytmem, powinien być jakiś znak, np. \(\displaystyle{ \rightarrow }\)

Usiłowałem w \(\displaystyle{ en.wikipedia}\) znaleźć eksplanację tego wzoru, ale... \(\displaystyle{ ni}\) \(\displaystyle{ mo...}\)

Pewnikiem jest on w jakiś-tam sposób analogiem wzoru innego:
⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ \(\displaystyle{ \pi (n) ≈ \frac{n}{Ln(n)} }\)
gdzie \(\displaystyle{ \pi (n)}\) jest funkcją zliczania p-liczb mniejszych od \(\displaystyle{ n}\)

A jeśli tak, to gdy mamy \(\displaystyle{ m<n}\), to \(\displaystyle{ \pi (n)}\) — \(\displaystyle{ \pi (m)}\) określa spodziewaną, uśrednioną, i przybliżoną \(\displaystyle{ ilość}\) p-liczb pomiędzy nimi.
Co jest oczywiście prawdziwe dopiero dla wystarczająco dużych: \(\displaystyle{ m}\), i sporo większego \(\displaystyle{ n}\)
A czemu \(\displaystyle{ sporo}\) \(\displaystyle{ większego}\)? No, dla uśrednienia, wszak p-liczby wyjeżdżają jak ten czołg, w dowcipie o sierżancie:

Wiecie, żołnierze, skąd \(\displaystyle{ najczęściej}\) powinien wyjeżdżać nasz czołg, atakując wroga?
— Eeee, najczęściej? Nooo, nie wiemy...
Czołg najczęściej powinien wyjeżdżać z \(\displaystyle{ Nienacka!}\) Kapitan Nienacki nam to zawsze powtarzał...

Ja tam o p-liczbach mawiałem, że one "wylatują spod pachy...". Dopóki nie znalazłem ciągów Dirichleta, które produkują liczby pierwsze z regularnością metronomu. Tyle, że nie są to \(\displaystyle{ kolejne}\) liczby pierwsze...

Ponieważ w zbiorze (przedziale) odpowiednio dużych p-liczb zdarzają się luki, czyli zaskakujące \(\displaystyle{ flauty}\), przeplatane a to pewną regularnością (no, przybliżoną, of course), a to znów nagłym, i niespodziewanym wysypem (\(\displaystyle{ względną }\) obfitością), to warto wziąć to pod uwagę w dalszym budowaniu procedury, i brać na tapetę liczby dość odległe.

Tak też właśnie robiłem w prezentowanym wcześniej tu: gdzie-w-internecie-znajde-f151/arkusz-w ... 56823.html — w arkuszu, uśredniając frekwencję liczb w przedziale nieco większym. Wziąłem arbitralnie odległość liczoną \(\displaystyle{ numerami }\) tych liczb, jako \(\displaystyle{ Δ = 64,}\) a więc \(\displaystyle{ okrągłą.}\) Oczywiście \(\displaystyle{ nie}\) w chorym systemie decymalnym, tylko zdrowym, \(\displaystyle{ dwójkowym...}\)

W ogóle w matematyce powinno się używać \(\displaystyle{ wyłącznie}\) systemów pochodnych od \(\displaystyle{ dwójkowego}\) (on sam jest trochę \(\displaystyle{ rozwlekły}\)), czyli hexadecymalnego, bądź \(\displaystyle{ octalnego}\) (ósemkowego). Ma taką zaletę że jest nieco bliższy wpajanemu przez tysiąclecia decymalnemu, niż szesnastkowy, i nie wymaga stosowania znaków alfabetu jako "cyfr"...

BTW. to pisałem o innym sposobie reprezentacji graficznej cyfr, w wątku [Matryca znaków...] dyskusje-o-matematyce-f76/matryca-znako ... 56820.html — warto zerknąć...

Zaraz z wieczora zabiorę się za dłubaninę, aby powyższe dywagacje zamienić na działający arkusik \(\displaystyle{ excelowy... }\)

Stąd: \[N\# \approx e^N\] Przy czym należy zwrócić uwagę, że przy przyjętej definicji przybliżenie jest zasadniczo dobre jedynie dla N pierwszych.

Hm, może i tę włąsność jakoś w arkusik wkomponuję, ale liczydło pewnikiem wykrzaczy się w try miga.

[ciach]

[SekretnyJulek]

\[\sum_{p\ pierwsze}^{N}\ln(p) \approx N\]

— nie "\(\displaystyle{ dekoduję}\)" tego wzoru, czy sigma oznacza
sumowanie logarytmów z \(\displaystyle{ p}\)

Tak, \(\displaystyle{ \ln(2)+\ln(3)+\ln(5)+\cdots}\)
Jeśli nie jest to jasne zachodzi: \(\displaystyle{ \ln(N\#) = \sum_{p\,pierwsze}^{n} \ln(p)}\)

Pewnikiem jest on w jakiś-tam sposób analogiem wzoru innego:
⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ \(\displaystyle{ \pi (n) ≈ \frac{n}{Ln(n)} }\)
gdzie \(\displaystyle{ \pi (n)}\) jest funkcją zliczania p-liczb mniejszych od \(\displaystyle{ n}\)

Jest on konsekwencją tego szacowania, właśnie to proponowałem sprawdzić jako ćwiczenie. Zauważmy, że:
\[ \int_{1}^{n} \frac{\pi(x)}{x} dx = \sum_{p\,pierwsze}^{n} (\ln(n)-\ln(p)) = \pi(n)\ln(n) - \sum_{p\,pierwsze}^{n} \ln(p) \]
Następnie sugeruję oszacować \(\displaystyle{ \pi(n)}\) korzystając właśnie z tw. o liczbach pierwszych. Błąd będzie rzędu \(\displaystyle{ \frac{n}{\ln^2(n)}}\), potencjalnie \(\displaystyle{ \sqrt n}\) (drugie szacowanie jest udowodnione jedynie przy założeniu hipotezy Riemanna).

Edit: Przepraszam za pomyłkę błąd potencjalnie jest rzędu \(\displaystyle{ \sqrt n}\) dla całki logarytmicznej, nie dla \(\displaystyle{ \frac{n}{\ln(n)}}\)

Hm, może i tę włąsność jakoś w arkusik wkomponuję, ale liczydło pewnikiem wykrzaczy się w try miga.

Przybliżenie będzie raczej kiepskie dla małych liczb, może Pan się pobawić Wolframem uwzględniając wcześniej wspomniany błąd. Najlepiej byłoby zaprogramować to sobie w Pythonie.

[c-rasz]

Przybliżenie będzie raczej kiepskie dla małych liczb

Zgaduję, że liczby niemałe zaczynają się ("koniec żartów, zaczynają się schody [Bolesław Wieniawa-Długoszowski]) zaczynają się od p-liczb kilkudziesięciocyfrowych, czy tak?

może Pan się pobawić Wolframem uwzględniając wcześniej wspomniany błąd.

Ale to da się zrobić u Niego on-line? Czy za pomocą Mathematica?

Najlepiej byłoby zaprogramować to sobie w Pythonie.

Dziękuję, nie stać mnie na uczenie się na stare lata Pythona. Poza tym ja nie modelarz specjalnie, w życiu napisałem kilka programów, palców u rąk aż nadto, by je zliczyć...

Kliknąłem Ci — widzę, że nie masz ich zbyt dużo...

[Brombal]

Odnośnie Excelowych badań gęstości liczb pierwszych, proponuję spojrzeć na ten temat w którym uświadomiono mi, że\(\displaystyle{ Excel ^{100} }\) to za mały pikuś
link do zdarzenia
teoria-liczb-f26/gestosc-liczb-pierwszych-t453430.html

[c-rasz]

Odnośnie (...)

Zerknąłem, dyskusja dość obszerna, jak byś streścił jej clou? Tzn. co uważasz za warte tu przytoczenia?

Dodano po 28 minutach 8 sekundach:
Re: liczb pierwszych frekwencja LOKALNA

(...)

⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ Jak już wcześniej napisałem,
że "kliknąłem Ci..." (czyli + dałem)
i wkleiłem ikonkę wzniesionego kciuka,
ale ikonkę tę J. Kraszewski "wypukał"
(Bo nie ma jej w LOKALNYM zestawie).
⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ No, i po zabawie...

W czym tu bruździ ikonka za-importowana
aby koniecznie zostać skasowana?