Matematyka.pl

Miałem tu podobny temat ale inaczej podszedłem do zagadnienia.
Miarą prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ p(x)}\), że liczba \(\displaystyle{ x}\) z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle 1, x\right\rangle }\) jest pierwsza, może być proporcja \(\displaystyle{ \frac{ \pi(x) }{x} }\).
Jak widać dotyczy to prawdopodobieństwa w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle 1, x\right\rangle }\).
W rzeczywistości branie pod uwagę całego przedziału fałszuje wyniki.
Dobrze to widać gdy policzymy prawdopodobieństwa w dolnej połówce przedziału \(\displaystyle{ \frac{ \pi( \frac{x}{2} ) }{ \frac{x}{2} } }\) oraz górnej \(\displaystyle{ \frac{ \pi(x)- \pi( \frac{x}{2} )}{ \frac{x}{2} } }\) Jak widać prawdopodobieństwa są różne w tej samej wielkości przedziału.
Nie musimy ograniczać się do połówki (liczba \(\displaystyle{ 2}\)) a weźmy liczbę \(\displaystyle{ k \le x}\).
\(\displaystyle{ \pi (x)= \frac{x}{ \ln(x) } }\)
Wynika z tego, że \(\displaystyle{ p(x)= \lim_{ k\to x }\left( \frac{x}{\ln(x)} - \frac{x- \frac{x}{k} }{\ln(x- \frac{x}{k}) } \right) = \frac{x}{\ln(x)} - \frac{x-1}{\ln(x-1)} }\)
Prawdopodobieństwo pierwszości liczby \(\displaystyle{ x}\) mówi nam o spodziewanej odległości pomiędzy liczbami pierwszymi w okolicy \(\displaystyle{ x}\).
Czyli średnia odległość \(\displaystyle{ g_{x} }\)pomiędzy liczbami pierwszymi w zależności od \(\displaystyle{ x}\) powinna wynieść \(\displaystyle{ \frac{1}{p(x)} }\).

Kilka uwag (no offence) bo aktualnie post jest nieczytelny ale może ich poprawa pozwoli na sensowne odpowiedzi w temacie:

Brombal pisze: 14 lip 2022, o 10:30 Miarą prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ p(x)}\), że liczba \(\displaystyle{ x}\) z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle 1, x\right\rangle }\) jest pierwsza, może być proporcja \(\displaystyle{ \frac{ \pi(x) }{x} }\).

Nie ma czegoś takiego jak miara prawdopodobieństwa jest prawdopodobieństwo (które jest miarą z definicji) albo jest miara zdarzenia (jeśli miara jest probabilistyczna to mamy prawdopodobieństwo zdarzenia). Te uwagi to jedynie semantyka ale poważniejszy problem to, że pewnie na myśli masz coś innego od tego co piszesz. Liczba \(\displaystyle{ x}\) jest tu ustalona i nie pytasz o p-stwo, że \(\displaystyle{ x}\) jest pierwszy tylko, że losowa liczba z \(\displaystyle{ [1,x]}\) jest pierwsza (oczywiście tego się jedynie domyślam bo Twój opis pyta coś innego). I na koniec nie może być tylko po prostu jest proporcja \(\displaystyle{ \pi(x)/x}\).

Brombal pisze: 14 lip 2022, o 10:30 Jak widać dotyczy to prawdopodobieństwa w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle 1, x\right\rangle }\).

To zdanie jest dziwne.

Brombal pisze: 14 lip 2022, o 10:30 Dobrze to widać gdy policzymy prawdopodobieństwa w dolnej połówce przedziału \(\displaystyle{ \frac{ \pi( \frac{x}{2} ) }{ \frac{x}{2} } }\) oraz górnej \(\displaystyle{ \frac{ \pi(x)- \pi( \frac{x}{2} )}{ \frac{x}{2} } }\) Jak widać prawdopodobieństwa są różne w tej samej wielkości przedziału.

O ile przedział się ładnie dzieli na \(\displaystyle{ 2}\). Poza tym nie wiem co ładnie tu widać bo nie wiem o co chodziło z fałszowaniem wyniku.

Brombal pisze: 14 lip 2022, o 10:30 \(\displaystyle{ \pi (x)= \frac{x}{ \ln(x) } }\)

Nie.

Brombal pisze: 14 lip 2022, o 10:30 Wynika z tego, że \(\displaystyle{ p(x)= \lim_{ k\to x }\left( \frac{x}{\ln(x)} - \frac{x- \frac{x}{k} }{\ln(x- \frac{x}{k}) } \right) = \frac{x}{\ln(x)} - \frac{x-1}{\ln(x-1)}}\)

Nie:

• z tego wynika to znaczy z czego? Z tego co powyżej logicznie wynika wszystko ale praktycznie nic bo powyżej to był fałszywy. Mało tego przytoczona równość nie wynika z tego co powyżej (nawet, gdy stosuję życzliwą interpretację).

• nie rozumiem sensu tej granicy. To, że \(\displaystyle{ k \rightarrow x}\) oznacza praktycznie to, że \(\displaystyle{ k=x}\). Mieszasz moim zdaniem ciągły/analityczny charakter teorii liczb z jej dyskretną stroną. Aktualne rozważania są dyskretne/skończone. Potem ewentualnie jeśli będziesz chciał badać zachowania asymptotyczne dla dużych \(\displaystyle{ x}\) itp. to się skorzysta z analitycznej teorii liczb.

Więc po prostu

I końcówki nie rozumiem. Bo już się zgubiłem kompletnie i nie jestem pewien czy to \(\displaystyle{ p}\) to jest jakaś nowa funkcja czy to jest to prawdopodobieństwo.

Ja wiedziałem, ze tak będzie - nie wziąłem śpiworka.
Praktycznie z całą krytyką zgadzam się w pełni.
Wiem, że \(\displaystyle{ \pi (x) > \frac{x}{\ln(x)} }\) ale komplikowało to rozważania .
To że liczby pierwsze rozmieszczone są w sposób niehomogeniczny jest oczywiste.
Gdybyśmy mieli oszacować (obliczyć?) prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ p _{x} }\) tego, że liczba wylosowana z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle 1, x\right\rangle }\), jest pierwsza skorzystamy ze wzoru \(\displaystyle{ p _{x} = \frac{ \pi(x)}{x} }\).
Tego typu podejście dotyczy całego przedziału i nie mówi prawdy o tym ile wynosi to prawdopodobieństwo na górnym krańcu przedziału...
Stąd takie rozważania. Postaram się zrobić jakiś program który porówna oba wzory z rzeczywistością. jeszcze to przemyślę .

Brombal pisze: 14 lip 2022, o 13:14 To że liczby pierwsze rozmieszczone są w sposób niehomogeniczny jest oczywiste.

Polemizował bym. Nie wiem jak matematycznie definiujesz tu homogeniczność ale dla dużych \(\displaystyle{ x}\) mamy


w zasadzie sprowadza się to do słabszego stwierdzenia, że


A to raczej znaczy dokładnie coś przeciwnego do potocznie rozumianej niehomogeniczności? Należy jednak uważać ze znaczkiem \(\displaystyle{ \approx }\) bo: badając różnicę różnicę okazuje się, że


co oznacza, że w pierwszej połowie przedziału \(\displaystyle{ \left[ 1,2x\right] }\) jest dużo więcej liczb pierwszych ale nie relatywnie dużo więcej bo jednak iloraz dąży do \(\displaystyle{ 1.}\) Póki co widzę jedyną ciekawą (moim zdaniem) kontynuację tych rozważań. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jeśli losowo wybrana liczba \(\displaystyle{ k}\) z przedziału \(\displaystyle{ \left[ 1,2x\right] }\) już jest pierwsza to należy do \(\displaystyle{ \left[ 1,x\right]}\). I chyba to miałeś na myśli? I korzystając z prawdopodobieństwa warunkowego bodź nie jak kto lubi otrzymujemy

A to oznacza, że dla dużych \(\displaystyle{ x}\) jeśli \(\displaystyle{ k\in \left[ 1,2x\right] }\) okaże się być pierwsza to jest równie prawdopodobne, że pochodzi z \(\displaystyle{ \left[ 1,x\right] }\) jak to, że pochodzi z \(\displaystyle{ \left[ x,2x\right] }\). To rozumowanie łatwo uogólnić. Biorąc \(\displaystyle{ \alpha \in (0,1) }\) możemy się spytać o
Co interpretował bym dokładnie jako homogeniczność. Innymi słowy na przykładzie: jeśli \(\displaystyle{ 2x=10^{100}}\) i wybierasz losowo liczbę \(\displaystyle{ k}\) która okazuje się pierwsza. Jakie jest prawdopobieństwo, że jest powiedzmy w (mówiąc kolokwialnie) pierwszych \(\displaystyle{ 32\%}\) przedziału \(\displaystyle{ \left[ 1,10^{100}\right] }\) jest \(\displaystyle{ k}\). To jest


PS przez \(\displaystyle{ \# A}\) rozumiem mnogość zbioru \(\displaystyle{ A}\).

PPS jeśli \(\displaystyle{ a_n/b_n\to 1}\), gdy \(\displaystyle{ n\to \infty}\) to \(\displaystyle{ a_n \approx b_n}\).

PPPS jeśli masz na myśli inny sens homogeniczności znany z literatury/artykułów to proszę o referencję.

Faktycznie. Przebywanie na "zadupiu" liczb pierwszych, czyli w zakresie do paru milionów cyfr, może sugerować niehomogeniczność. Dalej wyglądać to może inaczej.
O niehomogeniczności może świadczyć to, że w przedziale od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ x}\) jest więcej liczb pierwszych niż w przedziale od \(\displaystyle{ x}\) do \(\displaystyle{ 2x}\)

Brombal pisze: 14 lip 2022, o 15:45 niehomogeniczność

Nie dekoduję tego określenia, sorry. To z języka potocznego, czy "zawity" termin ściśle techniczny?
________
Widzę, że Twoje badania dotyczą czego innego, niż to, co usiłowałem zrobić ja. Rozważałeś frekwencję liczb pierwszych w przedziałach w porównaniu z moimi — bardzo dużych: to znaczy, jak widzę, porównywałeś różnice w ich występowaniu np. w zakresie od liczby 2, do p — w zestawieniu z przedziałem od p do 2p.

Natomiast ja zamiast tego zacząłem badać tę frekwencję w przedziale chociaż deczko większym od kilku, ale jednak nie ZA WIELKIM: arbitralnie zdecydowałem się na odległość Δ = 64 (numerowanych) kolejnych liczb pierwszych.

Ale po namyśle zauważam, że jest to zabawa dość jałowa, bo nie za bardzo do czegokolwiek prowadzi. A już na pewno nie prowadzi do żadnych sensownych reguł LOKALNEGO występowania liczb pierwszych. „Lokalnego” — to znaczy od znalezionej liczby pierwszej, oraz jej numeru, plus zadane Δ. Nie, nie — nie mówię o znalezieniu KONKRETNYCH liczb pierwszych dzięki dostrzeżeniu jakiejś magicznej regularności, nie! Chodzi o stwierdzenie, ile w danym Δ zakresie tych liczb jest, i żeby owo przybliżenie było dość dobre...

Przy takim rozwiązaniu / podejściu, musi zostać wyciągnięta nieunikniona konstatacja, że występowanie liczb pierwszych jest w zasadzie, a może nawet niemal w pełni — losowe, co nie jest prawdą: one na osi liczbowej występują baaardzo regularnie, gdyż generowane są przez ciągi Dirichleta, ową regularność zapewniające.

Chodzi oczywiście o RÓŻNE ciągi. W każdym ciągu Dirichleta liczby pierwsze są od siebie oddalone o stałą odległość, przy czym może być tak, że w „zadanej” odległości — liczba pierwsza się pojawi, a już w następnym kroku wskazana parametrami ciągu liczba będzie nie-pierwsza.


To, że w konkretnym miejscu jest, albo jej nie ma, już nie za bardzo poddaje się simplicystycznym regułom, ale pewne znaczenie ma, że w ogólności prawdziwe jest stwierdzenie, że pojawiają się one z regularnością metronomu, tyle że (drobiazg!) one wcale nie są liczbami kolejnymi, bo produkują je również inne metronomy, a tych metronomów jest nieskończenie wiele.

Jeszcze raz powtarzam: nie jest to stuprocentowa regularność, ze względu na wyżej wymienione zastrzeżenie, sprowadzające się do konstatacji, że w każdym ciągu Dirichleta występują "dziury". O ile regularność produkcyjna każdego z ciągów Dirichleta jest jasna, i prosta, to "odstrzeliwanie" kandydatek na liczby pierwsze przez sito Eratostenesa — na pewno się nie poddaje regułom PROSTYM.

A jeżeli nie-prostym, to jakim? Otóż rzecz w tym , że reguł odsiewania przez mechanizmy sita Eratostenesa, jest tyle, ile liczb pierwszych, czyli... nieskończenie wiele.

Ciągów Dirichleta również jest nieskończenie wiele, więc i nieskończenie dużo jest produkcyjnych modeli, a w wyniku tego także i reguł Eratostenesa też jest nieskończenie wiele, i nieskończona jest ich działalność przeciwna, czyli "odstrzeliwanie" kandydatek na liczby pierwsze.

Używając innych określeń, można powiedzieć, że w zadanym parametrami Dirichleta miejscu nie pojawi się pierwsza liczba, bo została zastała "zastrzelona"/ wykoszona tym faktem, że dana liczba okazała się podzielna przez jakąś liczbę pierwszą od niej mniejszą, wygenerowaną przez inny ciąg Dirichleta.


Rozpatrując zagadnienie regularności występowania liczb pierwszych, trzeba mieć równocześnie w pamięci to, jak działa sito Eratostenesa, będące mechanizmem eliminowania liczb, oraz to, jak działa maszyna owe liczby produkująca, czyli Dirichleta "generator" liczb pierwszych.