Kwestia wyboru

[c-rasz]

Zebrałem na tym forum cięgi, za wpis:
teoria-liczb-f26/zbieznosc-szeregu-odwr ... 56811.html
w którym obwieszczałem, że suma odwrotności liczb pierwszych jest zbieżna do liczby Eulera

Opitolono mnie jak burą sukę, cóż, nie będę udawał, że pada deszcz...
U Wolframa zobaczyłem wykres tej wartości (sumy odwrotności) rosnący w miarę jak posuwamy się w górę, i sumujemy te odwrotności z coraz większego zakresu. Wykres wpierw idzie dość stromo do góry, a potem przegina się zdecydowanie, i biegnie już bardziej płasko.
https://www.wolframalpha.com/input?i=sum%281%2Fprime%28n%29%2C1%2C50000%29

wykres.jpg (9.09 KiB) Przejrzano 1844 razy

Tak płasko, że niemal równolegle do osi \(\displaystyle{ n}\)
Aż trudno uwierzyć widząc ten wycinek, że jednak rośnie w niekończoność...
Uznałem, że jest zbieżny: cóż, błąd, ale jeśli nie zbiega do stałej, to niewątpliwie asymptotycznie zbiega do jakiejś prostej, która ma pewne nachylenie, oraz (co już ma znaczenie mniejsze, ale wspomnieć trzeba dla porządku) jakieś miejsce zerowe.

Mógłby ktoś spytać:
— panie kolego
no i co z tego?
Ha! Pojęcia mi brak...
Ale pozgadujmy...
Wyznaczając parametry tej asymptoty, możemy osiągnąć 2 rzeczy:
Uzyskać faktor / mnożnik, czy też równanie, które ową asymptotę pnącą się w nieskończoność, przekształcają w inną prostą, już do osi n równoległą. Odpowiednie przekształcenie dawało by nam możność określenia, o ile nazbyt częste jest występowanie liczb pierwszych do tego, aby jednak suma ich odwrotności była zbieżna.
A mając ten parametr (nazwę go współczynnikiem nad-gęstości) możemy tak manipulować zbiorem p-liczb, odrzucając ich nadmiar, że w końcu zbieżność otrzymamy

No dobrze (ktoś powie), ale jakie zastosujemy kryterium tego od-sieve'u?

Aaa, to ważny temat. Omówię we wpisie osobnym.

[Janusz Tracz]

Wyprowadzenie Cię z błędu (a jak się okazuje raczej średnio udana próba) vs

Opitolono mnie jak burą sukę, cóż, nie będę udawał, że pada deszcz...

To dwie różne rzeczy.

Uznałem, że jest zbieżny...

Całe szczęście matematyka nie jest demokratyczna. Bo jeszcze kilka innych osób by też tak uznało, a wtedy kto wie, może stałoby się to prawdą. Reszta tego zdania nie ma sensu.

PS poczekaj aż z oddali zobaczysz wykres pierwiastka (nie chemicznego).

[c-rasz]

⁣Widzę, że at this moment zajrzało tu kilkanaście już osób, a zapewne nie byli to zaglądacze przypadkowi, lecz ludzie tematem zainteresowani, a więc i (chyba!) jakoś i w nim \(\displaystyle{ zorientowani...}\) A mimo tego nie dostrzegli kalafiora, jaki posadziłem...

No to poprawiam się...

W wątku tym, a i po-krew-nym
napisałem mianowicie, że ze względu na podzielność przez pewną wybraną liczbę x
w ogólności takiej (to zalecenie o charakterze metodologicznym, poparte oczekiwaniem \(\displaystyle{ estetycznym}\)) takiej że:
\(\displaystyle{ x = y}\)# gdzie y# to tzw. primorial, czyli odpowiednik \(\displaystyle{ silni}\), ale nie wymnaża się liczb naturalnych, tylko kolejne p-liczby mniejsze-równe \(\displaystyle{ y}\).
\(\displaystyle{ "równe"}\) tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ y}\) jest p-liczbą

Jako przykładową liczbę wybrałem iloczyn 3 najmniejszych p-liczb, \(\displaystyle{ 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30}\)
po czym w pośpiechu chaotycznej pisaniny kropnąłem się, bo stwierdziłem lekkomyślnie, że ze względu na podzielność przez nią, uzyskamy 29 różniących się kategorialnie \(\displaystyle{ rodzajów}\) p-liczb gdy tymczasem tylko niektóre wartości reszty z dzielenia mogą dotyczyć liczb pierwszych (używam autorskiego skrótu p-liczby) a wszystkie 29 reszt z dzielenia — liczb \(\displaystyle{ naturalnych,}\) wśród których oczywiście \(\displaystyle{ niektóre }\), i owszem — pierwszymi jednak \(\displaystyle{ są.}\) Podkreślić trzeba: \(\displaystyle{ niektóre!}\)

Po zastanowieniu uświadomiłem sobie swój błąd, za który \(\displaystyle{ przepraszam}\) niniejszym.

Dla większej ogólności zmieńmy sobie 30 na \(\displaystyle{ 210,}\) czyli \(\displaystyle{ 7}\)#
Ze względy na podzielność przez \(\displaystyle{ 210}\) można podzielić . poklasyfikować liczby \(\displaystyle{ naturalne}\) na 209 kategorialnie różniących się zbiorów, podobnie jak kategorialnie różnią się dwa rodzaje liczb \(\displaystyle{ nietroistych,}\) bo jedne dają resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\) wynoszącą \(\displaystyle{ 1}\) — a drugie wynoszącą \(\displaystyle{ 2}\)
— gdy tymczasem jest tylko \(\displaystyle{ jeden}\) rodzaj \(\displaystyle{ nieparzystości...}\)
Poniekąd dlatego właśnie ona
\(\displaystyle{ wydaje.. się}\) być jakoś wyróżniona.

Ale wróćmy do mnogości reszt z podzielności przez \(\displaystyle{ 210}\). No i do mojego \(\displaystyle{ błędu}\)
Otóż w kontekście poszukiwania wśród tak wyselekcjonowanych liczb, interesujących nas p-liczb, trzeba zaznaczyć, że
dalej dokonywany podział, owych reszt, przez \(\displaystyle{ 2; 3; 5}\) i \(\displaystyle{ 7}\) jest wydajną metodą \(\displaystyle{ selekcji}\)

\(\displaystyle{ n}\) mod 210 ≡ 0 wiadmo kiedy, prawda? Gdy dana liczba \(\displaystyle{ n}\) dzieli się zarówno przez \(\displaystyle{ 2,}\) jak i \(\displaystyle{ 3; 5}\), oraz \(\displaystyle{ 7}\)
A potem natychmiast jest liczba względnie wobez nich pierwsza. A dalej z pierwszości wykluczone są:
a) przez \(\displaystyle{ dwójkę}\) co druga
b) przez \(\displaystyle{ trójkę}\) co trzecia
c) co piąta przez \(\displaystyle{ 5}\)
d) oraz przez \(\displaystyle{ siódemkę}\) co \(\displaystyle{ 7}\)

A w efekcie pierwszymi mogą być jedynie liczby (tu symbolizujemy ich całe \(\displaystyle{ zbiory}\) poprzez wspomniane \(\displaystyle{ reszty}\) z \(\displaystyle{ dzielenia}\) przez \(\displaystyle{ 210}\) — jedynie liczby ową metodą \(\displaystyle{ nie}\) wykluczone!

Wskazywanie ich dla \(\displaystyle{ 210}\) było by nudne, więc wskażmy je dla liczby \(\displaystyle{ 30}\)
\(\displaystyle{ 1; 11; 13; 17; 19; 23; 29}\) a więc liczby \(\displaystyle{ pierwsze}\) większe od siódemki, ale mniejsze od \(\displaystyle{ trzydziestki}\)

Zaś pozostałe reszty z dzielenia są \(\displaystyle{ eykietkami}\) symbolizującymi odpowiadające im, nieskończone zbiory liczb \(\displaystyle{ złożonych}\).

⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ \(\displaystyle{ Kurtyna!}\)

[Jan Kraszewski]

⁣Widzę, że at this moment zajrzało tu kilkanaście już osób, a zapewne nie byli to zaglądacze przypadkowi, lecz ludzie tematem zainteresowani, a więc i (chyba!) jakoś i w nim \(\displaystyle{ zorientowani...}\) A mimo tego nie dostrzegli kalafiora, jaki posadziłem...

Bo - jak sądzę - osoby zaglądające nie czytają tego, co piszesz. I wcale im się nie dziwię.

JK