Matematyka.pl

a) \lim_{ x\to 0^{+} } \frac{ 2^{x}-1 }{ 4^{ \sqrt{x} }-1 }

b) \lim_{ x\to 0} \frac{ \sqrt[3]{1+x}- \sqrt[6]{1-x} }{x}

Muszę obliczyć granice korzystając z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych. Pierwsze zacząłem robić, ale w mianowniku pojawił mi się ln4 i nie kontynuowałem (bo nie ...

robię tak:

\lim_{ x\to \frac{ \pi }{2} } =\left( tgx- \frac{1}{cosx} \right)=\lim_{ x\to \frac{ \pi }{2} } =\left( \frac{sinx}{cosx} - \frac{1}{cosx} \right)=\lim_{ x\to \frac{ \pi }{2} } \frac{sinx- sin^{2}x- cos^{2}x }{cosx}

dalej, chociaż nie wiem, czy mogę tak:

...=\lim_{ x\to \frac{ \pi ...

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \frac{ \pi }{2} } =\left( tgx- \frac{1}{cosx} \right)}\)

staram się, ale wychodzą tylko symbole nieoznaczone. Jakieś porady?

a to nie wystarczy w takim razie zauważyć, że to \(\displaystyle{ ( \frac{2}{3} ) ^{x} \rightarrow 0}\), więc granica całości, to właśnie 0 ?

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \frac{ 2^{x}+1 }{ 3^{x}+2 }}\)

Kompletnie nie wiem jak zabrać się za to. Proszę o wskazówkę.

Nie potrafię stwierdzić, czy to, co napisałeś jest poprawne, ale mam na pewno poprawnie wyznaczone ciągi, a mianowicie:

\lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{ \frac{1}{n}} \le \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{ \frac{1}{n}+ \frac{2}{ n^{2}} + \frac{3}{ n^{3} } } \le \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{ \frac{1}{n ...

Jak w temacie. Należy sprawdzić, czy istnieje granica korzystając z twierdzenia o 3 ciągach

\lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{ \frac{1}{n}+ \frac{2}{ n^{2}} + \frac{3}{ n^{3} } }

Czy mogą być takie ciągi, czy powinny być inne?

\lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{ \frac{1}{n}+ \frac{2}{ n^{2}} + \frac{3 ...

Serdecznie dziękuję. Wszystko stało się jasne =)!

Mam problem z tymi przykładami:

a) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{ (n^{20}+ 2)^{3} }{ (n^{3}+1)^{20} }}\)

b) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1+3+...+(2n-1)}{2+4+...+2n}}\)

Muszę obliczyć je korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów. Z góry serdecznie dziękuję za pomoc.

a_{n+1}-a_n=\frac{ 4^{n+1} \cdot( 2^{n}+ 3^{n})- 4^{n} \cdot( 2^{n+1}+ 3^{n+1})}{ (2^{n}+ 3^{n}) \cdot (2^{n+1}+ 3^{n+1}) }=\frac{ 4^{n} \cdot 4 \cdot( 2^{n}+ 3^{n})- 4^{n} \cdot( 2^{n} \cdot 2+ 3^{n} \cdot 3)}{ (2^{n}+ 3^{n}) \cdot (2^{n} \cdot 2+ 3^{n} \cdot 3) }
teraz wyciagnąć 2^{n} przed ...

Czyli tak:
a_{n} = \frac{ 4^{n} }{ 2^{n}+ 3^{n} } i a_{n+1} = \frac{ 4^{n+1} }{ 2^{n+1}+ 3^{n+1} }
Teraz a_{n+1}-a_n=\frac{ 4^{n+1} }{ 2^{n+1}+ 3^{n+1} }-\frac{ 4^{n} }{ 2^{n}+ 3^{n} }=\frac{ 4^{n+1} \cdot( 2^{n}+ 3^{n})- 4^{n} \cdot( 2^{n+1}+ 3^{n+1})}{ (2^{n}+ 3^{n}) \cdot (2^{n+1}+ 3^{n+1 ...

Mam problem z zadaniem. Chodzi o to, by zbadać, czy dany ciąg jest monotoniczny od pewnego miejsca (dobrze by było też określić, od którego wyrazu począwszy).
a_{n} = \frac{ 4^{n} }{ 2^{n}+ 3^{n} }
Wiem, że powinienem wyznaczyć a_{n+1} i obliczyć a_{n+1} - a_{n} , czy też \frac{a_{n+1}}{a_{n ...