Badanie monotoniczności ciagu

[aTyNieee]

Mam problem z zadaniem. Chodzi o to, by zbadać, czy dany ciąg jest monotoniczny od pewnego miejsca (dobrze by było też określić, od którego wyrazu począwszy).
\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{ 4^{n} }{ 2^{n}+ 3^{n} }}\)
Wiem, że powinienem wyznaczyć \(\displaystyle{ a_{n+1}}\) i obliczyć \(\displaystyle{ a_{n+1} - a_{n}}\), czy też \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}}}\),ale z tym ostatnim mam już problem. Z góry serdecznie dziękuję za odpowiedź.

[lukasz1804]

Łatwo wykazać, że różnica \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n}\) ma wartość dodatnią dla każdego \(\displaystyle{ n}\).
Wystarczy po zapisaniu różnicy sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika i, wiedząc że jest on dodatni, sprawdzić że licznik jest również dodatni.

[aTyNieee]

Czyli tak:
\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{ 4^{n} }{ 2^{n}+ 3^{n} }}\) i \(\displaystyle{ a_{n+1} = \frac{ 4^{n+1} }{ 2^{n+1}+ 3^{n+1} }}\)
Teraz \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\frac{ 4^{n+1} }{ 2^{n+1}+ 3^{n+1} }-\frac{ 4^{n} }{ 2^{n}+ 3^{n} }=\frac{ 4^{n+1} \cdot( 2^{n}+ 3^{n})- 4^{n} \cdot( 2^{n+1}+ 3^{n+1})}{ (2^{n}+ 3^{n}) \cdot (2^{n+1}+ 3^{n+1}) }}\)
i mam to po prostu postarać się wymnożyć, czy skorzystać z tego, że potęgi, gdzie wykładnik wynosi n+1 można zapisać jako np. : \(\displaystyle{ = 4^{n+1}= 4 \cdot 4^{n}}\) i starać się to jakoś! skrócić? Bo właśnie z tym ostatnim miałbym raczej problem.

[lukasz1804]

Zamień potęgi o wykładnikach \(\displaystyle{ n+1}\) na iloczyny.

[aTyNieee]

\(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\frac{ 4^{n+1} \cdot( 2^{n}+ 3^{n})- 4^{n} \cdot( 2^{n+1}+ 3^{n+1})}{ (2^{n}+ 3^{n}) \cdot (2^{n+1}+ 3^{n+1}) }=\frac{ 4^{n} \cdot 4 \cdot( 2^{n}+ 3^{n})- 4^{n} \cdot( 2^{n} \cdot 2+ 3^{n} \cdot 3)}{ (2^{n}+ 3^{n}) \cdot (2^{n} \cdot 2+ 3^{n} \cdot 3) }}\)
teraz wyciagnąć \(\displaystyle{ 2^{n}}\) przed nawiasy i postarać się to skrócić, czy coś innego?

[lukasz1804]

Wystarczy wyłączyć poza nawias \(\displaystyle{ 4^n}\), a resztę przedstawić w postaci jednej sumy, tj. \(\displaystyle{ 4(2^n+3^n)-(2^n\cdot 2+3^n\cdot 3)=(4\cdot 2^n-2\cdot 2^n)+(4\cdot 3^n-3\cdot 3^n)=2\cdot 2^n+3^n=2^{n+1}+3^n}\).