Matematyka.pl

3.

oznaczmy \(\displaystyle{ c_x = \cos x, s_x = \sin x}\)

\(\displaystyle{ s_{4x} = c^4_{x} - s^4_x}\)

\(\displaystyle{ 2s_{2x}c_{2x} = (c^2_x - s^2_x)(c^2_x + s^2_x) = c^2_x - s^2_x = c_{2x}}\)

\(\displaystyle{ c_{2x}(2s_{2x} - 1) = 0}\)

\(\displaystyle{ c_{2x} = 0 \lor s_{2x} = \frac{1}{2}}\)

itd.

chyba chodzi o podgrupę normalną

trzeba pokazać, że \(\displaystyle{ Hx = xH}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in G}\),

jeśli \(\displaystyle{ x \in H}\) to \(\displaystyle{ xH =Hx = H}\)

oznaczmy \(\displaystyle{ H' = G \setminus H}\)

jeśli \(\displaystyle{ x \in H'}\) to \(\displaystyle{ xH = H'}\), podobnie \(\displaystyle{ Hx}\) może być albo równe \(\displaystyle{ H}\) lub \(\displaystyle{ H'}\), więc \(\displaystyle{ Hx=H'}\).

to chyba nie jest łatwe, na stronie http://oeis.org/ po wpisaniu kilku wyrazów tego ciągu mamy: n -th term is n - m\cdot (m+1)/2 + 1 , m = \left[ (\sqrt{8\cdot n+1} - 1) / 2\right] . The above formula is for offset 0 ; for offset 1 , use a(n) = n-m\cdot (m+1)/2, m = \left[(-1+\sqrt{8\cdot n-7})/2\ri...

jeśli dla dowolnego \(\displaystyle{ c}\) jest \(\displaystyle{ a \equiv b\pmod{c}.}\) to mamy:

gdyby np. \(\displaystyle{ a>b}\) to \(\displaystyle{ a \equiv b \pmod{a-b}}\) (bo \(\displaystyle{ a-b}\) dzieli niezerowe \(\displaystyle{ a-b}\)) ale dla \(\displaystyle{ d>a-b}\) już nie zajdzie \(\displaystyle{ a\equiv b\pmod{d}}\)

czy oprócz tego są jeszcze jakieś informacje w zadaniu?

\(\displaystyle{ n}\) jest jakieś ustalone, tak rozumiem kontekst zadania, my przechodzimy do nieskończoności z literką \(\displaystyle{ k}\), nasz ciąg może się zaczynać od tego numeru n jako pierwszego, w moim przykładzie używam sobie nowego swojego n

przy oznaczeniach \(\displaystyle{ c_k = \cos kt, s_k = \sin kt}\) mamy:

\(\displaystyle{ c_{2k} = 2c_k^2 - 1}\)

\(\displaystyle{ x-1 = c_k}\)

\(\displaystyle{ 2(x-1)^2-1 = 2c_k^2 - 1 = c_{2k}}\)

następnie:

\(\displaystyle{ c_{2k}^2 + s_{2k}^2 = 1}\)

\(\displaystyle{ (2(x-1)^2-1 )^2 + y^2 = 1}\)

upraszczając troszkę można się zapytać czemu: dla ciągu a_n zbieżnego do granicy g i takiego, że \forall_{n} a_n < M dla pewnego M zachodzi: g \leq M ? bo gdyby tak nie było to w przedziale (M; g) byłyby wyrazy ciągu a_n , sprzeczność powyższą uwagę można zastosować do zadania przyjmując a_k = |a_{i...

też mi wyszła złożoność kwadratowa(taka wychodzi też z trzeciego przypadku twierdzenia o rek. uniwersalnej): \frac{T(n)}{n} = \frac{T( \frac{n}{2} )}{ \frac{n}{2} } + \Theta(n) dla n=2^m dostajemy: \frac{T(2^m)}{2^m} = \frac{T(2^{m-1})}{2^{m-1}} + \Theta(2^m) = = \frac{T(2^{m-2})}{2^{m-2}} + \Theta(...

drugie pytanie:

tak, chodzi o roczną stopę, co widać trochę ze wzoru,

jeśli mamy \(\displaystyle{ 100}\) j.p to chcemy, żeby \(\displaystyle{ 100 + r_e\cdot 100}\) to było to samo co przy kapitalizacji czyli po roku \(\displaystyle{ 100 \cdot (1 + \frac{r}{4} )^4}\) przy kapitalizacji kwartalnej

\(\displaystyle{ Var Z = Var Y + 4 Var X - 4 Cov (X, Y)}\)

skorzystałem ze wzorów:

\(\displaystyle{ Var (A+B) = Var A + Var B + 2 Cov (A,B)}\)
\(\displaystyle{ Cov (A,B) = Cov (B, A)}\)
\(\displaystyle{ Cov (cA,B) = Cov (A,cB) = c Cov (A,B)}\)
\(\displaystyle{ Var cA = c^2 Var A}\)

poza tym \(\displaystyle{ Cov (X, Y) = E(XY) - EX EY}\)

\(\displaystyle{ EX^2}\) można liczyć bez gęstości ze wzoru \(\displaystyle{ EX^2 = D^2X + (EX)^2}\)

jaki pisałem: 'liczyłem to do końca i mi wyszło \(\displaystyle{ \frac{-5}{18}}\)' miałem na myśli tylko kowariancję

liczyłem to do końca i mi wyszło \frac{-5}{18} a to powyżej można tak: z własności min i max mamy: X > x \Leftrightarrow U_1 > x, U_2>x Y \leq y \Leftrightarrow U_1 \leq y, U_2 \leq y P(Y \leq y) można zapisać jako P(X \leq x, Y \leq y) + P(X > x, Y \leq y) P(X \leq x, Y \leq y) = P(Y \leq y) - P(X ...

jest taki wzór na macierz rzutu: A(A^{T}A)^{-1}A^{T} , gdzie A to będzie macierz zbudowana z kolumn wektorów generujących płaszczyznę zadaną równaniem, u nas np: A = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0\\1& 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] wówczas A(A^{T}A)^{-1}A^{T} = \left[ \begin{array}{ccc}...

Żeby skorzystać z \(\displaystyle{ \Phi \left(x\right)}\) trzeba zrobić standaryzację \(\displaystyle{ Z = \frac{X - \mu}{\sigma}}\)

Wtedy \(\displaystyle{ P(X<-4) = P(Z < -1) = \Phi \left(-1\right) = 1 - \Phi \left(1\right) = 1 - 0,841 = 0, 159}\)

Powyższy obliczenia spróbuj zilustrować na krzywej dzwonej