Przechodząc z n do nieskończoności

[Dominik J]

Fragment dowodu:

Zachodzi:
\(\displaystyle{ \forall_{k>n} \forall_{i} |a_{ik} | < M+1}\)
Przechodząc przy ustalonym \(\displaystyle{ i}\) z \(\displaystyle{ k}\) do nieskończoności, otrzymujemy, że dla każdego \(\displaystyle{ i}\), \(\displaystyle{ |b_i| \leq M+1}\)
gdzie \(\displaystyle{ b_i = \lim_{k \to \infty} a_{ik}}\)

Nie rozumiem tego sformułowania " przechodząc z k do nieskończoności". Ogólnie często się ono pojawia w dowodach. Czy mógłby mi ktoś dokładnie wyjaśnić co to oznacza? W jaki sposób otrzymujemy ten wniosek, że dla każdego \(\displaystyle{ i}\), \(\displaystyle{ |b_i| \leq M+1}\)? Z góry bardzo dziękuję.

[sebnorth]

upraszczając troszkę można się zapytać czemu:

dla ciągu \(\displaystyle{ a_n}\) zbieżnego do granicy \(\displaystyle{ g}\) i takiego, że \(\displaystyle{ \forall_{n} a_n < M}\) dla pewnego \(\displaystyle{ M}\) zachodzi:

\(\displaystyle{ g \leq M}\) ?

bo gdyby tak nie było to w przedziale \(\displaystyle{ (M; g)}\) byłyby wyrazy ciągu \(\displaystyle{ a_n}\), sprzeczność

powyższą uwagę można zastosować do zadania przyjmując \(\displaystyle{ a_k = |a_{i,k}|}\) dla ustalonego \(\displaystyle{ i}\), zamiast \(\displaystyle{ M}\) przyjąć \(\displaystyle{ M+1}\)

skorzystać poza tym z tego, że jak \(\displaystyle{ a_n \rightarrow g}\) to \(\displaystyle{ |a_n| \rightarrow |g|}\)

[Dominik J]

A to, że \(\displaystyle{ \forall_{i} |a_{ik} | < M+1}\) zachodzi dopiero dla \(\displaystyle{ k}\) większych od pewnego \(\displaystyle{ n}\), czyli jest ograniczony ale dopiero od pewnego momentu, w niczym nie przeszkadza?

[sebnorth]

\(\displaystyle{ n}\) jest jakieś ustalone, tak rozumiem kontekst zadania, my przechodzimy do nieskończoności z literką \(\displaystyle{ k}\), nasz ciąg może się zaczynać od tego numeru n jako pierwszego, w moim przykładzie używam sobie nowego swojego n