Matematyka.pl

No więc przy poniższym zagadnieniu:

\(\displaystyle{ u_{tt}=c^2 u_{xx} \\ u(x,0) = \phi(x) \\ u_t(x,0) = \psi(x)}\)

zachodzi wzór:

\(\displaystyle{ u(x,t) = \frac{1}{2 }( \phi(x-ct) + \phi(x+ct)) + \frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} \psi(y) dy}\)

Równanie struny (fali) zazwyczaj rozwiązywałem metodą szeregów Fouriera rozdzielania zmiennych. Czy mógłby mi ktoś powiedzieć kiedy mam stosować tą metodę a kiedy mogę skorzystać ze wzoru d'Alamberta? Czym się różnią te rozwiązania? Czy ostatecznie dostałbym tę samą funkcję?

Jedyne co udało mi się znaleźć to to:


ale niestety nie ma tam rozwiązanego ani jednego przykładu z tych niejednorodnych. Czy mógłbyś zatem pokazać jak to należy zrobić? Chociaż opisowo, dając wskazówki.

Zalóżmy, że mamy \(\displaystyle{ [0,1] \times [0,1]}\).

No to co oznacza w takim razie ten warunek? Tyle tylko, że \(\displaystyle{ u}\) jest funkcją dwóch zmiennych? Zatem gdzie tutaj jest warunek brzegowy?

Tego w linku nie ma, próbuję sam dojść o co tu chodzi. Jeśli za \(\displaystyle{ x}\) podstawię jakąś liczbę, to chyba oczywistym jest, że dostanę funkcję niezależną od \(\displaystyle{ x}\)? W szczególności jeśli podstawię\(\displaystyle{ x=0}\).

Nie, samo \(\displaystyle{ u(0,y)}\) będzie zależne chyba od samego \(\displaystyle{ y}\)?

No tak, ale po lewej stronie mamy coś zależnego od \(\displaystyle{ y}\) zaś po prawej od \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\)? Nie powinno być po prostu \(\displaystyle{ u(0,y)=g(y)}\) ?

Zaś w przypadku zagadnienia Neumanna bierzemy pochodną po pierwszej współrzędnej? Czyli w przypadku funkcji \(\displaystyle{ u=u(x,y)}\) mielibyśmy \(\displaystyle{ u_{x}(0,y) = g(y)}\) ?

Nie rozumiem zapisu \(\displaystyle{ u_{ \partial D }}\). Czy to oznacza, że funkcja u jest określona na obszarze ograniczonym przez krzywą \(\displaystyle{ \partial D}\) ? Jeśli tak, to dalej niestety nie widzę zagadnienia początkowego. Czy ma być po prostu \(\displaystyle{ u(0,y) = g(x,y)}\) ?

A czy tu nie chodzi o to, że w zagadnieniach Dirichleta przyjmujemy warunek początkowy jako \(\displaystyle{ u(0,x)= \varphi (x)}\) zaś Neumanna \(\displaystyle{ u_t (0,x) = \psi (x)}\) ?

miodzio1988 pisze:Na wykładzie ćwiczeniach nie było?

U mnie na różniczkach nic nie ma, tylko wymagania z kosmosu. Więc jeśli znasz odpowiedź na to pytanie to byłbym wdzięczny gdybyś tą wiedzą się podzielił, bo ja już nie mam sił szukać...

Czy mógłby ktoś powiedzieć na czym polegają te zagadnienia? Spotkałem sie z nimi przy równaniach ciepła i fali, ale niestety nigdzie nie udało mi się znaleźć konkretów.

Mam za zadanie rozwiązać równanie Laplace'a w prostokące z podanymi warunkami brzegowymi

u_{xx} + u_{yy} = 0, u(0,y)=u(a,y)=0, u(x,0)=x(a-x), u(x,b)=0

Rozwiązując to równanie metodą radialną dostaję rozwiązanie postaci:

u(x,y) = C \ln \sqrt{x^2 + y^2} + D

Co mam dalej zrobić? Bo z tych ...

Czy mógłby ktoś powiedzieć jaka jest ogólna metoda na rozwiązywanie powyższych równań? Z jednorodnymi nie mam wiekszego problemu, ale co zrobić w przypadku niejednorodnym?

Np.

równanie ciepła:
u_{t} - u_{xx} = \sin t \ \ \ \ \ \ u(x,0)=x(1-x),u(0,t)=u(1,t)=0

równanie fali:
u_{tt} - u_{xx ...