Matematyka.pl

Jakiego rodzaju przedziały ufności? W pakiet propCIs jest wbudowanych wiele standardowych przedziałów ufności (link do dokumentacji: ... ropCIs.pdf )

\(\displaystyle{ \frac{\cos x}{x}=0}\)
Np. z trzech funkcji:
\(\displaystyle{ \frac{-1}{x} \le \frac{\cos x}{x} \le \frac{1}{x}}\)
Przy \(\displaystyle{ x \rightarrow \infty}\) wyrażenia po obu stronach zbiegają do zera. Zatem środkowe również.

W 2) nie mozna stosować reguły de L'Hospitala.
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \frac{x-\cos x}{x} = \lim_{ x\to \infty }\left(1 - \frac{\cos x}{x}\right) = 1 - 0 = 1}\)

\(\displaystyle{ (e^{-x})' = e^{-x} \cdot (-1)}\)

Trzeba skorzystać z \(\displaystyle{ (f(g(x)))'= f'(g(x))\cdot g'(x)}\).

Pochodna funkcji \frac{1}{x} to -\frac{1}{x^2} .
Tutaj 'rolę' x pełni (1-x) .
(\frac{1}{1-x})' = -\frac{1}{(1-x)^2} \cdot (-1) = \frac{1}{(1-x)^2}
Ta druga -1 wzięła się z pochodnej funkcji (1-x) która jest równa 0-1 = -1

Podsumowując, korzystamy tutaj z:
1) (\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^2}
2 ...

Przecież na samym początku \(\displaystyle{ \Delta x >0}\) jako przyrost funkcji.
Sprawdziłem w Fichtenholzu, pokazane jest nieomal identycznie jak to co napisałem powyżej.

Weźmy x \in (a,b) .
\Delta x >0 będzie przyrostem x.
Wtedy z tego że jest rosnąca mamy że f(x+ \Delta x ) \ge f(x) .
Funkcja f jest różniczkowalna
\lim_{ \Delta x \to 0} \frac{ f(x+ \Delta x ) - f(x)}{\Delta x}
(mamy licznik \ge 0 i mianownik >0 )
Przechodząc do granicy dostajemy, że f'(x) \ge 0 ...

Na pierwszy rzut oka to przybliżenia wystarczą:

\(\displaystyle{ 2^{3,33} \approx 10}\)

\(\displaystyle{ 2^{100} \approx 2^{3,33 *30} \approx 10^{30}}\)

\(\displaystyle{ 10^{30}}\) to oczywiście 1 i 30 zer (zatem 31 cyfr).

Liczba pod pierwiastkiem musi być większa bądź równa 0.
Zatem:
\(\displaystyle{ |x-1|-3 \ge 0}\)

\(\displaystyle{ |x-1| \ge 3}\)
A to prowadzi do \(\displaystyle{ x in (- infty , -2] cup [4 , infty )}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{a} = a^{ \frac{1}{2} }}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{a} = a^{ \frac{1}{3} }}\)
I przykład wykorzystania:
\(\displaystyle{ \sqrt{3 \sqrt{27} } = \sqrt{3 \sqrt{3^3} } = \sqrt{3 \cdot 3^{ \frac{3}{2} } } = \sqrt{3^{ \frac{5}{2} }} = (3^{ \frac{5}{2}}) ^{ \frac{1}{2} } = 3^{ \frac{5}{4} }}\)

Reszta analogicznie.

funkcja 2x^{3}-13x^{2}+8x ma w przedziale (0,5] miejsce zerowe zatem funkcja
|2x^{3}-13x^{2}+8x| ma minimum lokalne w tym przedziale dokładnie w miejscu zerowym.
Po odpowiednich rachunkach dochodzimy do wniosku, że :
x = 1/4 (13-\sqrt{105})

Aby policzyć maksimum lokalne |2x^{3}-13x^{2}+8x ...

\(\displaystyle{ x ^{2} -3x + 2 \le 0}\)

\(\displaystyle{ \Delta = b^2 - 4ac = 9 - 8=1}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = 1}\)

\(\displaystyle{ x_1 = \frac{-b+ \sqrt{\Delta}}{2a}= \frac{3+1}{2} = 2}\)
\(\displaystyle{ x_2 = \frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a}= \frac{3-1}{2} = 1}\)

\(\displaystyle{ (x-2)(x-1)\le 0}\)
\(\displaystyle{ a>0}\) zatem ramiona paraboli są skierowane w górę, czyli
\(\displaystyle{ x \in [1,2]}\)

Hmm... mamy dwa równania, przy czym zastanawiam się czy z tym zadaniem jest wszystko ok, bo wychodzi mi jedno rozwiązanie.

\begin{cases} 2(x-y)=4 \\ x=2y \end{cases}
\begin{cases} x-y=2 \\ x=2y \end{cases}

zatem

2y - y = 2
y=2

Czyli
\begin{cases} x=4 \\ y=2 \end{cases}

Dobrze jest to ...

O ile dobrze rozumiem polecenie to wystarczy, że:
\(\displaystyle{ \limsup_{n \to \infty } \sqrt[n]{|a_n|} = \frac{1}{5}}\)

Przykłady takich szeregów:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{5^n} (x -1)^{n}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (\frac{n+1}{5n+2})^n (x -1)^{n}}\)