wykaż że liczba 2 do ptęgi 100 ma conajmniej 31 cyfr

[wieloszka21]

chodzi tu o to żeby udowodnić że ta liczba może mieć 31 liczb i zwykle ma więcej

[k_law]

Na pierwszy rzut oka to przybliżenia wystarczą:

\(\displaystyle{ 2^{3,33} \approx 10}\)

\(\displaystyle{ 2^{100} \approx 2^{3,33 *30} \approx 10^{30}}\)

\(\displaystyle{ 10^{30}}\) to oczywiście 1 i 30 zer (zatem 31 cyfr).

[?ntegral]

Liczba \(\displaystyle{ 10^{30}}\) ma 31 cyfr.

Wykazując, że \(\displaystyle{ 2^{100}>10^{30}}\), pokażemy, że liczba \(\displaystyle{ 2^{100}}\) ma co najmniej 31 cyfr.

\(\displaystyle{ 2^{100}>10^{30}}\)

\(\displaystyle{ 2^{100}>2^{30}\cdot5^{30}}\)

\(\displaystyle{ 2^{70}>5^{30}}\)

\(\displaystyle{ 2^7>5^3}\)

\(\displaystyle{ 128>125}\)

Co jest oczywiście prawdą.

Pokazaliśmy tym samym, że liczba \(\displaystyle{ 2^{100}}\) ma co najmniej 31 cyfr.

Wykazując analogicznie nierówność \(\displaystyle{ 2^{100}<10^{32}}\) można dowieść, że liczba \(\displaystyle{ 2^{100}}\) ma mniej niż 32 cyfry.

Łącząc dwa powyższe dowody wykazujemy, że dana liczba ma dokładnie 31 cyfr.