Matematyka.pl

Witam.
Zbiór Cantora tworzy się poprzez kolejne iteracje. W n-tej iteracji mamy 2^n odcinków. Czy istnieje wzór na wszystkie końce tych odcinków dla dowolnego n? To znaczy, dla np. n=1 otrzymamy ciąg 0,\frac{1}{3},\frac{2}{3},1 ; dla n=2 otrzymamy: 0,\frac{1}{9},\frac{2}{9},\frac{1}{3},\frac{2}{3 ...

Czy da się w zwarty sposób przedstawić wyrazy ciągu
\(\displaystyle{ a_n=\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{k+n}}\)

dla pewnego \(\displaystyle{ k \in \mathbb{N}}\)? Tzn. czy da się obliczyć sumę tych ułamków, którą wyznaczy się za pomocą n i k?

Czyli nie da się tego jakoś poprawić i trzeba inaczej to dowodzić?

Macierze A,B \in \mathbb{M}_{n x n} są ustalone. Pokazać, że jeżeli dla każdej macierzy X \in \mathbb{M}_{n x n} zachodzi warunek: \det{(A+X)}=\det{(B+X)} , to A=B .

Czy poniższe rozwiązanie jest poprawne?

Niech A,B \in \mathbb{M}_{n x n} będą ustalone oraz niech X \in \mathbb{M}_{n x n} będzie ...

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ V}\) jest skończenie wymiarową przestrzenią liniową, \(\displaystyle{ \varphi}\), \(\displaystyle{ \psi \in L(V)}\) i przynajmniej jedno z przekształceń jest odwracalne, to wielomiany charakterystyczne macierzy przekształceń \(\displaystyle{ \varphi \circ \psi}\) oraz \(\displaystyle{ \psi \circ \varphi}\) są takie same.

W jaki sposób zaznaczyć w programie, ze musi wykonywać dokładne obliczenia z dowolna długością liczb całkowitych (maksymalny zakres pythona)?

Mnożąc liczby binarne dojdziemy do dodawania i to dodawanie nie ma polegać na tym, że \(\displaystyle{ 1+1=0}\) i \(\displaystyle{ 1}\) dalej, tylko wykorzystuje się tą powyższą zasadę. Po angielsku to dodawanie nazywa się "zero rule".

Sprowadza się to do tego, że jeśli dodajemy dwie \(\displaystyle{ 1}\) na pozycji \(\displaystyle{ n}\) (licząc od prawej), to w rezultacie otrzymamy na \(\displaystyle{ n}\)-tej pozycji \(\displaystyle{ 0}\), a na \(\displaystyle{ n+1}\)-szą pozycję dodamy \(\displaystyle{ 0}\) oraz na \(\displaystyle{ n+2}\) i \(\displaystyle{ n+3}\) pozycję dodamy \(\displaystyle{ 1}\).

Od dłuższego czasu zastanawiam się jak napisać program (w Pythonie), który otrzymuje na wejściu dwie liczby binarne, a wypisuje ich iloczyn (zgodnie z zasadą \(\displaystyle{ 11+111=0}\)).
Czy mógłby ktoś podpowiedzieć jak napisać taki program?

Jedną z tych wszystkich.

Mam trzy punkty współliniowe: \(\displaystyle{ A=(a,b,c), B=(d,e,f), C=(g,h,i)}\) jak najszybciej mogę napisać dowolne z równań płaszczyzny zawierającej te punkty?

Uwzględniając ten warunek wychodzi mi: \(\displaystyle{ \frac{d-a}{g-d}=\frac{e-b}{h-e}=\frac{f-c}{i-f}}\) dla \(\displaystyle{ g \neq d, h \neq e, i \neq f}\). Jednak nie wiem co zrobić, gdy np. \(\displaystyle{ g=d}\) itp.

Jaki warunek muszą spełniać punkty \(\displaystyle{ A=(a,b,c)}\), \(\displaystyle{ B=(d,e,f)}\), \(\displaystyle{ C=(g,h,i)}\) by były współliniowe?

W jaki sposób policzyć całkę \(\displaystyle{ I_k=\int_0^1 x^k \ln^k(x) \dd x}\) dla \(\displaystyle{ k =1,2,3,...}\)

W jaki sposób mogę dowieźć, że liczba postaci \(\displaystyle{ \frac{ (4n+1) \left( [\frac{4n+1}{3} ] +1 \right)} {3 \left( [\frac{4n+1}{3} ] +1 \right) -(4n+1) }}\)

dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) oraz \(\displaystyle{ n \neq 3m}\), \(\displaystyle{ m \in \mathbb{N}}\) jest liczbą naturalną?