Równość macierzy

[neron0308]

Macierze \(\displaystyle{ A,B \in \mathbb{M}_{n x n}}\) są ustalone. Pokazać, że jeżeli dla każdej macierzy \(\displaystyle{ X \in \mathbb{M}_{n x n}}\) zachodzi warunek: \(\displaystyle{ \det{(A+X)}=\det{(B+X)}}\), to \(\displaystyle{ A=B}\).

Czy poniższe rozwiązanie jest poprawne?

Niech \(\displaystyle{ A,B \in \mathbb{M}_{n x n}}\) będą ustalone oraz niech \(\displaystyle{ X \in \mathbb{M}_{n x n}}\) będzie dowolną macierzą. Stąd \(\displaystyle{ A=[a_{ij}], \quad B=[b_{ij}],\quad X=[x_{ij}].}\)

Zatem \(\displaystyle{ A+X=[a+x]_{ij}, \quad B+X=[b+x]_{ij}}\). Z definicji wyznacznika macierzy mamy:

\(\displaystyle{ \det{(A+X)}=\sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{Inv{(\sigma)}} (a+x)_{1,\sigma(1)} \cdot (a+x)_{2,\sigma(2)} \cdot ...\cdot (a+x)_{n,\sigma(n)};}\)

\(\displaystyle{ \det{(B+X)}=\sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{Inv{(\sigma)}} (b+x)_{1,\sigma(1)} \cdot (b+x)_{2,\sigma(2)} \cdot ...\cdot (b+x)_{n,\sigma(n)};}\)

gdzie \(\displaystyle{ S_n}\) - zbiór wszystkich permutacji zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,...,n\}, \quad Inv(\sigma)}\) - liczba inwersji permutacji \(\displaystyle{ \sigma \in S_n}\).

Z równości \(\displaystyle{ \det{(A+X)}=\det{(B+X)}}\) wynika, że:

\(\displaystyle{ \forall_{\sigma \in S_n} \quad (a+x)_{1,\sigma(1)} \cdot ...\cdot (a+x)_{n,\sigma(n)} = (b+x)_{1,\sigma(1)} \cdot ...\cdot (b+x)_{n,\sigma(n)}}\),

a stąd: \(\displaystyle{ \forall_{1 \leq i \leq n}\quad \forall_{1 \leq j \leq n} \quad (a+x)_{ij}=(b+x)_{ij}}\).

Czyli \(\displaystyle{ [a_{ij}]+[x_{ij}]=[b_{ij}]+[x_{ij}]}\), więc \(\displaystyle{ [a_{ij}]=[b_{ij}]. \quad \square}\)

[a4karo]

\(\displaystyle{ \forall_{\sigma \in S_n} \quad (a+x)_{1,\sigma(1)} \cdot ...\cdot (a+x)_{n,\sigma(n)} = (b+x)_{1,\sigma(1)} \cdot ...\cdot (b+x)_{n,\sigma(n)},}\)

a stąd: \(\displaystyle{ \forall_{1 \leq i \leq n}\quad \forall_{1 \leq j \leq n} \quad (a+x)_{ij}=(b+x)_{ij}.}\)

To stwierdzenie chyba nie jest oczywiste

[neron0308]

Czyli nie da się tego jakoś poprawić i trzeba inaczej to dowodzić?

[kicaj]

Kod: Zaznacz cały

http://yaroslavvb.com/papers/dolinar-determinant.pdf