Całka z parametrem

neron0308 · Post autor: **neron0308** » 28 lut 2015, o 22:27

W jaki sposób policzyć całkę \(\displaystyle{ I_k=\int_0^1 x^k \ln^k(x) \dd x}\) dla \(\displaystyle{ k =1,2,3,...}\)

musialmi · Post autor: **musialmi** » 28 lut 2015, o 22:42

Chyba przez części, aż do skasowania się logarytmu. Czyli całkujesz \(\displaystyle{ x^k}\), a różniczkujesz logarytm.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 28 lut 2015, o 22:47

Niech \(\displaystyle{ I(n,m)=\int_0^1 x^n\ln^m x dx}\). Wtedy mamy:

\(\displaystyle{ I(n,m)=\begin{cases}\frac{1}{n+1}& m=0\\ -\frac{m}{n+1}I(n,m-1)& m>0\end{cases}}\)

(tę równośc dostajemy całkując przez części.)

Stąd \(\displaystyle{ I(k,k)=(-1)^k\frac{k!}{(k+1)^{k+1}}}\)