Matematyka.pl

Jeśli \(\displaystyle{ \mu(R)< \infty}\) to miara wewnętrzna na R definiowana jest równością \(\displaystyle{ \mu _{*} (A):=\mu(R)-\mu ^{*}(A')}\) dla każdego \(\displaystyle{ A \subset R}\). Wykazać, że dla każdego \(\displaystyle{ A \subset R}\) mamy \(\displaystyle{ \mu _{*}(A) \le \mu ^{*}(A)}\).

Mimo tego nie wiem jak to rozwiązać. Moge prosić o szkic tego zadania?

Niech <R,\mathcal{M},\mu> będzie przestrzenią z miarą skończoną oraz niech f:R \rightarrow \mathbb{R} będzie nieujemną, \mu -prawie wszędzie skończoną funkcją mierzalną. Udowodnić (nierówność Czejbyszewa), że dla dowolnego \epsilon>0 zachodzi \mu(\lbrace x \in R:|f(x)| \ge\epsilon\rbrace) \le \frac ...

Niech \left\langle R,\mathcal{M},\mu \right\rangle będzie przestrzenią z miarą skończoną oraz niech f,g:R \rightarrow \mathbb{R} będą nieujemnymi, \mu -prawie wszędzie skończonymi funkcjami mierzalnymi. Udowodnić, że:
a) jeśli f \ge 0 \left( mod \ \mu \right) oraz \int_{R}^{}fd\mu=0 , to f=0 \left ...

Ok już rozumiem wielkie dzięki

Ok dzięki ale szczerze to nie bardzo rozumiem dlaczego mam udowadniać ze punkt c nalećy do zbioru otwartego skoro sprawą oczywistą jest to że jak należy do domkniętego to tym bardziej do otwartego bo jest to zawężenie zbioru, no chyba że źle rozumuje

Witam! Jest takie twierdzenie o wartości średniej w rachunku całkowym: Jeżeli funkcja f:[a,b]->R jest funkcją ciągłą na przedziale [a,b], a<b, to istnieje punkt c \in [a,b] taki, że \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x)dx=f(c) . Potrzebuje pomocy w udowodnieniu, że to twierdzenie jest również prawdziwe ...