Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ \left\langle R,\mathcal{M},\mu \right\rangle}\) będzie przestrzenią z miarą skończoną oraz niech \(\displaystyle{ f,g:R \rightarrow \mathbb{R}}\) będą nieujemnymi, \(\displaystyle{ \mu}\)-prawie wszędzie skończonymi funkcjami mierzalnymi. Udowodnić, że:
a) jeśli \(\displaystyle{ f \ge 0 \left( mod \ \mu \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \int_{R}^{}fd\mu=0}\), to \(\displaystyle{ f=0 \left( mod \ \mu \right)}\);
b)jeśli \(\displaystyle{ \int_{A}^{}fd\mu=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ A \in \mathcal{M}}\), to \(\displaystyle{ f=0 \left( mod \ \mu \right)}\);
c) jeśli \(\displaystyle{ f>0 \left( mod \ \mu \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \int_{B}^{}fd\mu=0}\), to \(\displaystyle{ \mu \left( B \right) =0}\);
d) jeśli \(\displaystyle{ f=g \left( mod \ \mu \right)}\), to \(\displaystyle{ \int_{R}^{}fd\mu=\int_{R}^{}gd\mu}\).

a) załóżmy przeciwnie, że na zbiorze \(\displaystyle{ A}\) miary dodatniej \(\displaystyle{ f>0}\), wtedy oznaczając \(\displaystyle{ A_n=\{x\in A:f(x)> \frac{1}{n}}\) dostajemy \(\displaystyle{ \bigcup_{n}^{} A_n=A}\) zatem z ciągłości miary z dołu, istnieje \(\displaystyle{ n}\) taki, że \(\displaystyle{ \mu (A_n)>0}\) i naturalnie całka wtedy jest większa niż \(\displaystyle{ \mu(A_n) \cdot \frac{1}{n}>0}\) sprzeczność
d) przypadek gdy obie calki są nieskończone jest prosty, jeśli są skończone to rozważamy całke z \(\displaystyle{ f-g}\) i korzystamy z a)
b) podobne rozumowanie jak w a)
c) też tak jak w a