Twierdzenie o wartości średniej

[goskaa]

Witam! Jest takie twierdzenie o wartości średniej w rachunku całkowym: Jeżeli funkcja f:[a,b]->R jest funkcją ciągłą na przedziale [a,b], a<b, to istnieje punkt \(\displaystyle{ c \in [a,b]}\)taki, że \(\displaystyle{ \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x)dx=f(c)}\). Potrzebuje pomocy w udowodnieniu, że to twierdzenie jest również prawdziwe gdy punkt \(\displaystyle{ c \in (a,b)}\).

[BettyBoo]

Są dwie możliwości:

1) funkcja f jest stała - wtedy oczywiście można wziąć dowolny punkt z wnętrza.

2) funkcja f nie jest stała. Wtedy ma wartość największą M w pewnym punkcie s oraz najmniejszą m w pewnym punkcie t i te wartości są różne. Z ciągłości mamy wobec tego, że pomiędzy punktami s i t musi istnieć punkt, w którym funkcja przyjmuje wartość średnią - i oczywiście ten punkt należy do wnętrza przedziału (a,b), bo nie może to być ani s ani t.

Pozdrawiam.

[goskaa]

Ok dzięki ale szczerze to nie bardzo rozumiem dlaczego mam udowadniać ze punkt c nalećy do zbioru otwartego skoro sprawą oczywistą jest to że jak należy do domkniętego to tym bardziej do otwartego bo jest to zawężenie zbioru, no chyba że źle rozumuje

[BettyBoo]

Oczywiste jest w drugą stronę - że jeśli należy do otwartego, to do domkniętego też (bo to jest więcej).
Bo przecież punkt a, który jest początkiem tego przedziału nie należy do wnętrza, prawda?

Natomiast w tym zadaniu cały bajer polegał na uzasadnieniu, że niemożliwe jest, aby wartość średnia została przyjęta tylko w punktach brzegowych.

Pozdrawiam.

[goskaa]

Ok już rozumiem wielkie dzięki