Matematyka.pl

Pokazać, że proces Wienera nie jest różniczkowalny w sensie średniokwadratowym w każdym punkcie \(\displaystyle{ t\in T}\)

Niech \(\displaystyle{ L^2}\) oznacza zbiór zmiennych losowych X takich, że \(\displaystyle{ EX^2< \infty}\). Wykaż, że ciąg \(\displaystyle{ X_{n}}\) jest zbieżny średniokwadratowo wtedy i tylko wtedy gdy jest spełniony warunek Cauchy'ego: dla każdego \(\displaystyle{ \epsilon >0}\) istnieje N takie, że dla \(\displaystyle{ n,k \ge N}\) \(\displaystyle{ E[( X_{n}- X_{k})^2] \le \epsilon}\)

1. \emptyset \in \tau - z definicji
X \in \tau ponieważ
infA=-1, supA=1 \ \ \ infA+supA=0 < 0,01
2. Jeśli U_{1}, U_{2} \in \tau to U_{1} \cap U _{2} \in \tau
I tutaj jest największy problem, bo co wymyślam jakieś dwa zbiory to one należą do \tau . Także chyba ten drugi warunek jest spełniony ...

Niech \(\displaystyle{ X=(-1;1)}\), \(\displaystyle{ \tau=\lbrace A \subset X: A \neq \emptyset \wedge \inf A + \sup A <0,01} \rbrace \cup \lbrace \emptyset \rbrace}\).
Sprawdzić czy \(\displaystyle{ \left( X,\tau \right)}\) jest przestrzenią topologiczną.

W pierwszym znalazłam u siebie błąd i wyszło już dobrze.
W drugim rzeczywiście się pomyliłam ;/:

\(\displaystyle{ u_{x}+ \frac{u-x}{3y^2} u_{y}=1}\)
\(\displaystyle{ u( \sqrt{s}, \sqrt[3]{s})}\), \(\displaystyle{ s>0}\)

Wyszło mi: \(\displaystyle{ u(x,y)=x- \sqrt{s}}\). Dobrze?

a mogłabym zobaczyć początek rozwiązywania? ja próbowałam tak (ale nie wychodzi):
\begin{cases} x'=x \\ y'=u\\u'=0 \end{cases}
Z tego wynika, że
\begin{cases} x= C_{1} e^{t} \\ y= C_{2}t \\u=C_{2} \end{cases} .
Podstawiam pod ten warunek zagadnienie początkowe:
\begin{cases} x(0)=1= C_{1} \\ y(0 ...

Rozwiąż zagadnienie początkowe:
\(\displaystyle{ x \cdot u_{x} + u \cdot u_{y} =0 ,}\) , gdzie
\(\displaystyle{ u(1,y)=-y}\)
oraz
\(\displaystyle{ x \cdot u_{x} + \frac{(u-x)}{3 y^{2} }=1}\),gdzie
\(\displaystyle{ u( \sqrt{s}, \sqrt[3]{s})=0}\)

To teraz da się to udowodnić?
Bo ja nie mam pomysłów (znaczy miałam, ale wszystkie złe )

Przyznam szczerzę, że nie wiem co to znaczy \mathbb{Z}_5 . Ma to coś związanego z modulo?
Definicja \sigma- ciała:
Niech X będzie dowolnym zbiorem. Rodzina S podzbiorów zbioru X nazywa się \sigma -ciałem, gdy:
1. \emptyset\in S
2. jeśli A \in S , to X\A \in S
3. jeśli A_n\in S dla n\in N , to ...

Każde skończone ciało jest \(\displaystyle{ \sigma-}\)ciałem.
Mogę to udowodnić. Także wszystko w tym zadaniu jest ok.

Udowodnić, że jeżeli \(\displaystyle{ A}\) jest ciałem skończonym, to \(\displaystyle{ cardA=2^k}\) dla pewnej liczby \(\displaystyle{ k\in N\cup{(0)}}\)

Które spośród własności wariancji:
1.) D^{2}(c)=0
2.) D^{2}(aX)= a^{2} D^{2} X
3.) D^{2}(X+b)=D^{2}X
4.) D^{2}(X+Y)= D^{2}X + D^{2} Y , gdy X i Y są niezależne
5.) D^{2}X=E( X^{2} )-(EX)^{2}
6.) D^{2}X=E(X-c)^{2}-(c-EX)^{2}
szczególnie wyraźnie dowodzą, że jest ona miarą rozproszenia?

Mam ...

Mogłabym prosić o mniej więcej rozpisanie tego, albo odesłanie do jakieś książki?

A jak pokazać, że można przejść do tej postaci bardziej zwartej?

Jak rozwiązać takie zadanie:
Niech \(\displaystyle{ (Y_{n})}\) będzie łańcuchem Markowa. Sprawdzić, że złożony proces \(\displaystyle{ (Y_{2n})}\) jest również łańcuchem Markowa. Podaj uogólnienie dla złożonego procesu \(\displaystyle{ Y_{kn}}\), gdzie k jest dowolną liczbą naturalną.