Niech \(\displaystyle{ X=(-1;1)}\), \(\displaystyle{ \tau=\lbrace A \subset X: A \neq \emptyset \wedge \inf A + \sup A <0,01} \rbrace \cup \lbrace \emptyset \rbrace}\).
Sprawdzić czy \(\displaystyle{ \left( X,\tau \right)}\) jest przestrzenią topologiczną.
Sprawdzić czy rodzina podzbiorów tworzy topologię.
Sprawdzić czy rodzina podzbiorów tworzy topologię.
1. \(\displaystyle{ \emptyset \in \tau}\) - z definicji
\(\displaystyle{ X \in \tau}\) ponieważ
\(\displaystyle{ infA=-1, supA=1 \ \ \ infA+supA=0 < 0,01}\)
2. Jeśli \(\displaystyle{ U_{1}, U_{2} \in \tau}\) to \(\displaystyle{ U_{1} \cap U _{2} \in \tau}\)
I tutaj jest największy problem, bo co wymyślam jakieś dwa zbiory to one należą do \(\displaystyle{ \tau}\). Także chyba ten drugi warunek jest spełniony (bo nie umiem znaleźć kontrprzykładu). Tylko jak to matematycznie udowodnić?
\(\displaystyle{ X \in \tau}\) ponieważ
\(\displaystyle{ infA=-1, supA=1 \ \ \ infA+supA=0 < 0,01}\)
2. Jeśli \(\displaystyle{ U_{1}, U_{2} \in \tau}\) to \(\displaystyle{ U_{1} \cap U _{2} \in \tau}\)
I tutaj jest największy problem, bo co wymyślam jakieś dwa zbiory to one należą do \(\displaystyle{ \tau}\). Także chyba ten drugi warunek jest spełniony (bo nie umiem znaleźć kontrprzykładu). Tylko jak to matematycznie udowodnić?