Jak wyznaczyć sumę szeregu :
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } n^{p}x ^{n}}\)
gdzie \(\displaystyle{ p \in \mathbb N}\)
lub w jakiej książce mogę na to pytanie znaleźć odpowiedź. Z góry dziękuję za pomoc
suma szeregu
-
gwiazda55
- Użytkownik
- Posty: 75
- Rejestracja: 16 kwie 2010, o 11:17
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Pomógł: 2 razy
suma szeregu
Ostatnio zmieniony 8 mar 2012, o 14:19 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
octahedron
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
suma szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } n^{p}x ^{n}=x\sum_{n=1}^{ \infty } n^{p-1}nx ^{n-1}=x\sum_{n=1}^{ \infty } n^{p-1}\left(x ^{n}\right)'=x\sum_{n=1}^{ \infty } \left( n^{p-1}x ^{n}\right)'=x\left(\sum_{n=1}^{ \infty } n^{p-1}x ^{n}\right)'=\\=x\left(x\left(\sum_{n=1}^{ \infty } n^{p-2}x ^{n}\right)'\right)'=...}\)
po powtórzeniu tego kroku \(\displaystyle{ p}\) razy ostatecznie dostaniemy sumę \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }x ^{n}=\frac{x}{1-x}}\) i teraz \(\displaystyle{ p}\) razy różniczkujemy i mnożymy przez \(\displaystyle{ x}\):
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } n^{p}x ^{n}=x\left(...\,x\left( x\left( \frac{x}{1-x}\right)'\right)'...\right)'}\)
po powtórzeniu tego kroku \(\displaystyle{ p}\) razy ostatecznie dostaniemy sumę \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }x ^{n}=\frac{x}{1-x}}\) i teraz \(\displaystyle{ p}\) razy różniczkujemy i mnożymy przez \(\displaystyle{ x}\):
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } n^{p}x ^{n}=x\left(...\,x\left( x\left( \frac{x}{1-x}\right)'\right)'...\right)'}\)
-
luka52
- Użytkownik
- Posty: 8297
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1814 razy
suma szeregu
W bardziej zwartej postaci:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{+\infty} k^n x^k = \frac{\sum_{m=0}^n A(n,m) x^{m+1}}{(1-x)^{n+1}}}\)
... Identities
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{+\infty} k^n x^k = \frac{\sum_{m=0}^n A(n,m) x^{m+1}}{(1-x)^{n+1}}}\)
... Identities
