Matematyka.pl

dzięki

a może prawą stronę też da się poprawić- bo ta 1 chyba nigdy nie jest osiągana

dzięki
zapomniałem dodać że zależy mi tylko na lewej bo prawa jest prosta

mógłbyś napisać nierówność Cauchy'ego-Schwarza w formie Engela ?
zwykłą Cauchy'ego-Schwarza znam, ale z tym Engelem to jakaś szczególna postać?

\(\displaystyle{ \frac{1}{12}\ \le\ \frac{x^2}{1+y} + \frac{y^2}{1+z} + \frac{z^2}{1+x}\ \le\ 1}\)
dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y,z\ge 0}\) spełniających \(\displaystyle{ x+y+z=1}\)

jak ją wykazać?

to chyba jest znane, ale nie pamietam skąd to jest:
wyznacz wszystkie pary liczb całkowtych o własności \(\displaystyle{ ab-1\mid a^2+b^2}\)

Inkwizytor, nawet te punkty chyba nie do końca tak...
z tego co ja wiem to (-1)^t ma sens tylko dla t całkowitych i dla odwrotności liczb nieparzystych

\(\displaystyle{ n>3}\), \(\displaystyle{ a_1,\dots,a_n\ge 0}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ a_1+\dots +a_n=2}\)

Wyznaczyć najmniejszą wartość sumy
\(\displaystyle{ \frac{a_1}{a_2^2+1}+\frac{a_2}{a_3^2+1} +\dots +\frac{a_n}{a_1^2+1}}\)

aaa czyli Dirichlet dla \(\displaystyle{ \{a_1,\dots,a_{101}\}}\), dzięki!

dany ciąg rosnący liczb naturalnych taki że \(\displaystyle{ a_1=1,\ a_2=2,\ a_{n+1}\le 2n}\)
wykaż że pewne 2 wyrazy różnia się o 100

dla ciągu arytm. o różnicy r>0 i pierwszym wyrazie dodatnim wykaż nierówność
\(\displaystyle{ \sqrt{a_1}+\dots+\sqrt{a_n}<\frac{2}{3r}\left(a_{n+1}\sqrt{a_{n+1}}-a_1\sqrt{a_1}\right)}\)

indukcją jakoś idzie, ale pewnie można sprytniej...

mógłbyś jednak pokazać?
probwałem, ale chyba za dużo kątów wprowadzam ...

AB - dany łuk okręgu
M - jego (tego łuku) środek
N - dowolny punkt okręgu, różny od A i B

teza: wartość \(\displaystyle{ \frac{||AM|^2-|MN|^2|}{|AN|\cdot |BN|}}\) nie zależy od wyboru punktu N.

jak się za takie coś zabrać?

dzięki chłopaki
\(\displaystyle{ S=\frac{abc}{4R}}\) więc wynik macie ten sam

te czworokaty z I wskazówki ... AXHY jasne, a BXYC czemu?

Spodek jednej z wysokości trójkąta rzutujemy prostopadle na proste zawierające dwa pozostałe boki.
Udowodnić że odległość tych rzutów nie zależy od wyboru spodka.

To ja wrzucę coś
a,b,c >0 \qquad abc=1
Udowodnić, że
(a+b)(b+c)(c+a)+7\ge 5(a+b+c)

wymnażamy, przekształcamy do postaci
(a+b+c)( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} - 5) - 6 \geqslant 0

potem pokazujemy ze przy rozsuwaniu np a i b przy zachowaniu iloczynu a + b rosnie
a=max(a,b) k>0 ...