[Planimetria] spodek wysokości

[bury]

Spodek jednej z wysokości trójkąta rzutujemy prostopadle na proste zawierające dwa pozostałe boki.
Udowodnić że odległość tych rzutów nie zależy od wyboru spodka.

[Dumel]

strasznie dawno nic z geometrii nie robiłem ale to było na tyle proste że się skusiłem

\(\displaystyle{ A,B,C}\)-wierzchołki trójkąta
\(\displaystyle{ S}\)-pole trójkąta
\(\displaystyle{ AB=c, AC=b, BC=a}\)
niech \(\displaystyle{ H}\) będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka \(\displaystyle{ A}\) a \(\displaystyle{ X, Y}\) jego rzutami na odpowiednio: \(\displaystyle{ AB,AC}\)
parę wskazówek:

Ukryta treść:    

czworokąty \(\displaystyle{ AXHY}\) i \(\displaystyle{ BXYC}\) można wpisać w okręgi

Ukryta treść:    

trójkąty \(\displaystyle{ AXY}\) i \(\displaystyle{ ABC}\) są podobne

Ukryta treść:    

wyznacz \(\displaystyle{ XY}\) w zależności od \(\displaystyle{ AX,a,c}\)

Ukryta treść:    

poszukaj podobieństw w trójkącie \(\displaystyle{ ABH}\). znajdź \(\displaystyle{ AX}\) w zależności od \(\displaystyle{ S,b,c}\) (S oczywiście wprowadziłem tylko dla zwiększenia czytelności, też tak popróbuj)

wynik:    

\(\displaystyle{ XY= \frac{4S^2}{abc}}\)-symetryczny więc z pozostałych stron musi wyjść to samo

[bury]

te czworokaty z I wskazówki ... AXHY jasne, a BXYC czemu?

[Dumel]

korzystając z twierdzenia o kątach wpisanych opartych na tym samym łuku: \(\displaystyle{ \sphericalangle CYX=90+ \sphericalangle HYX=90+ \sphericalangle HAX=90+90-ABC=180- \sphericalangle XBC}\)

[binaj]

ja mam inne rozwiązanie i wynik od Dumla

\(\displaystyle{ R}\) i \(\displaystyle{ R_1}\) promienie okręgów opisanych na ABC i AXHY \(\displaystyle{ \alpha}\) kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ A}\)

\(\displaystyle{ XY=2R_1sin\alpha=AHsin\alpha= \frac{2S}{a}sin\alpha= 2S \cdot \frac{1}{2R}= \frac{S}{R}}\)

jest ok?

[bury]

dzięki chłopaki
\(\displaystyle{ S=\frac{abc}{4R}}\) więc wynik macie ten sam